16.3.2 第1课时完全平方公式 课件(共26张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(课件网) 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何意义. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 多项式乘多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 平方差公式 (a+b)(a－b)=a2+b2 ？ 一般形式 特殊形式 这节课我们一起来学习另一种特殊形式. 回 顾 m2－4m+4 (1)(p+1)2=(p + 1)(p + 1)= ； (2)(m+2)2=( _____ )( _____ )= ； (3)(p－1)2 =( _____ )( _____ )= ； (4)(m－2)2 =( _____ )( _____ )= . p2－2p+1 探 究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ m+2 m+2 p－1 p－1 m－2 m－2 p2+2p+1 m2+4m+4 ①积为二次三项式. ②积中两项为两数的平方和. ③另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，因为 (a+b) 2 = ( a + b )( a + b ) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 (a－b) 2 = ( a－b )( a－b ) = a2－ab－ab+b2 = a2－2ab+b2 归纳总结 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式. (a+b) =a +2ab+b 是多项式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b的特殊情形. (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式或多项式. 归纳总结 口诀：首平方加尾平方，首尾乘积二倍放中央 思 考 你能根据图(1)、图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗 图(1) 图(2) 分析： S总 = S①+S②+S③+S④. ① ② ③ ④ = + + + a2 ab ab b2 = (a + b) 2 (a+b)2= . 和的完全平方公式： a2+2ab+b2 图(1) 分析： S① = S总－ S② － S③+S④. = － － ＋ a2 ab ab b2 = (a － b) 2 (a－b)2= . 差的完全平方公式： a2－2ab+b2 图(2) ① ④ ② ③ 例1 计算： (1) (4m + n )2； (2) 解：(1)(4m + n )2 = (4 m)2 + 2·(4m)·n + n2 = 16m2 + 8mn + n2； (2) A．3 B．±3 C．6 D．±6 变 式 若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(　　) C 解：(1)102 2=(100+ 2 )2 = 1002 + 2×100 ×2+ 22 = 10 404； 例2 运用完全平方公式计算： (1) 102 2； (2)99 2. (2)992=(100 － 1 )2 = 1002 － 2×100 ×1+ 12 = 9 801. 拓展思考 表示阴影部分的面积，并得出等式. a b 方法一：S阴影部分= S小正方形 = (a－b)2 方法二：S阴影部分= S大正方形－ 4·S小长方形 = (a+b)2 －4ab 所以得到等式 (a－b)2 = (a+b)2－4ab 归纳总结 ①a2＋b2型 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(a－b)2＋2ab ③(a±b)2型 (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab (a－b)2＝(a＋b)2－4ab 完全平方公式的变形： 拓展变形 ②ab型 ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]÷2 ＝[(a2＋b2)－(a－b)2]÷2 ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]÷4 思 考 (1)(a+b)2与(－a－b)2相等吗 (2)(a－b)2与(b－a)2相等吗 方法一：(－a－b)2=(－a)2－2·(－a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2； 方法二：(－a－b)2=[－(a+b)]2=(－1)2(a+b)2=(a+b)2. 相等，证明过程如下： 方法一：(b－a)2=b2－2ba+a2=a2－2ab+b2=(a－b)2； 方法二：∵(b－a)=－(a－b) ∴ (b－a)2=[－(a－b)]2=(－1)2(a－b)2=(a－b)2. 相等，证明过程如下： (3)(a－b)2与a2－b2相等吗 (a－b)2与a2－b2不一定相等，因为前者是完全平方，后者是平方差. 只有当b=0或a=b时， (a－b)2=a2－b2 . 1.(2024呼和浩特)下列运算正确的是( ) A.(3x)3=9x3 B.(x－2)2=x2－4 C.(－2ab2)2=4a2b4 D.3a+4b=7ab C 2.如图，在一块边长为 a 的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四 ... ...