(课件网) 第七章 统计案例 7.3 独立性检验问题 1.通过实例了解独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题. 情境：2025年5月31日是第38个世界无烟日. 今年活动的主题是“拒绝烟草诱惑对第一支烟说不”. 思考：都说吸烟有害健康，那么吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？如果你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，那么可以吸烟”的说法对吗 问题1：吸烟与患肺癌是否有关系？ 分类变量 是否吸烟 是否患肺癌 2.28% 为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人） 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 思考：那么吸烟是否对患肺癌有影响？ ①初步估计： 在不吸烟者中患肺癌的比重是_____； 在吸烟者中患肺癌的比重是_____. 0.54% 结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异. 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表 问题2：有多大把握认为吸烟和患肺癌有关？ 独立性检验由英国著名的统计学家，被公认为“现代统计学之父” 的Karl Pearson首创. 判断两个不同的分类变量是否会相互影响，需借助独立性检验，简称独立性检验. 分析：想要知道有多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，可以先假设： H0：吸烟与患肺癌没有关系；用A表示不吸烟，B表示不患肺癌， 则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌相互独立”，即假设 H0等价于 P(AB) = P(A)P(B)； 把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： B：不患肺癌 患肺癌 总计 A：不吸烟 a b a + b 吸烟 c d c + d 总计 a + c b + d n = a + b + c + d 问题2：有多大把握认为吸烟和患肺癌有关？ 在表中，a 恰好为事件 AB 发生的频数；a + b 和 a + c 恰好分别为事件 A 和 B 发生的频数；由于频率接近于概率，所以在 H0 成立的条件下应该有： B：不患肺癌 患肺癌 总计 A：不吸烟 a b a + b 吸烟 c d c + d 总计 a + c b + d n = a + b + c + d 其中，n = a + b + c + d 为样本容量，则 (a + b + c + d)·a ≈ (a + b)·(a + c)，即 ad ≈ bc . 注：(1) P(AB)的值与P(A)·P(B)的值差距越小，说明A、B越接近于独立，A、B 越不相关，即 A、B 相互独立的可能性越大； (2) P(AB)的值与P(A)·P(B)的值差距越大，说明 A、B 越不独立，A、B 越相关，即 A、B 相关联的可能性越大. 因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. B：不患肺癌 患肺癌 总计 A：不吸烟 a b a + b 吸烟 c d c + d 总计 a + c b + d n = a + b + c + d （2）为使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量 不患肺癌 患肺癌 合计 不吸烟 7775 (a) 42 (b) 7817 (a + b) 吸烟 2099 (c) 49 (d) 2148 (c + d) 合计 9874 (a + c) 91 (b + d) 9965 (n) 3. 查 χ2 表： χ2 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例如，对于小概率值 α = 0.05，我们有如下的具体检验规则： （1）当 χ2 ≥ xα = 3.841 时，我们就推断 H0 不成立（数学结论），即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过 0.05（实际结论）； （2）当 χ2 < xα = 3.841 时，我们没有充分证据推断 H0 不成立（数学结论） ，可以认为 X 和 Y 独立（实际结论） 4.根据检验规则得出推断结论： χ2 = 56.632 ≥ 6.635 = x0.01； （4）结论：按 α = 0.01的独立性检验，我们推断 H0 不成立 (数学结论)，即认为吸烟与患肺癌有关联关系，推断错误的概率不大于0.01 (实际结论). χ2 独立 ... ...
