人教版（2024）八年级上册 15.1.2线段的垂直平分线 教案+课件(共31张PPT)

第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 教学目标 1.了解轴对称及线段垂直平分线的性质和判定. 2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题. 3.理解互逆命题、原命题、逆命题、互逆定理和逆定理的定义及它们之间的关系. 4.经历探索过程，提高学生解决问题的能力. 设计意图：明确学习目标，有利于帮助学生进行针对性学习. 二、教学重难点 重点：了解轴对称及线段垂直平分线的性质和判定. 难点：会应用线段垂直平分线的性质和判定解题. 三、教学用具 多媒体课件 四、教学过程设计 （一）复习回顾 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？什么是线段的垂直平分线？ 预设答案：线段是轴对称图形；经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 垂直平分线除了具有平分、垂直线段的性质外，还有什么性质呢？ 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线．角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系． 设计意图：通过回顾旧知识，引出本节课探究的主题. （二）探究新知 探究：如图，直线l 垂直平分线段AB，点，，，…在l上，分别比较点，，，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 请在图中的直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l上．求证：PA =PB． 证明：∵　l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又AC =CB，PC =PC， ∴△PCA ≌△PCB（SAS）. ∴PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立. 总结：线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 用几何语言表示为： ∵l垂直平分AB，且点P在直线l上， ∴PA=PB． 设计意图：让学生通过猜想证明了解到线段垂直平分线有无数个点，而且到线段两端点的距离都相等，从而得出性质定理. 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 已知：如图，PA =PB． 　　求证：点P在线段AB 的垂直平分线上． 证明：如图作PC⊥AB. 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵PA =PB，PC =PC， ∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴AC =BC． 又PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上. 总结：线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 用几何语言表示为： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 1.从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2.反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. 设计意图：通过垂直平分线的性质联想到垂直平分线的判定，并借助证明性质的思路证明判定定理，使学生更能充分理解. 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 注意：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的； 而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 在几何中，有许多互逆的定理，例如，关于 ... ...