2025-2026学年北京市东城区第二中学高一上学期第一学段考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年北京市东城区第二中学高一上学期第一学段考试 数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 2.已知集合，则( ) A. B. C. D. 3.已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是( ) A. B. C. D. 4.若，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，，，则的最大值是( ) A. B. C. D. 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. 和 D. 7.当时，不等式有解，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.高二一班共有学生人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门课程都不选的有人，这三门课程都选的有人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有人，物理、化学只选一科的学生都至少人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多( ) A. B. C. D. 9.已知函数的定义域为，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.设集合，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 12.记函数在区间上的最大值为，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 13.命题“”为，其否定为_____ 14.关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为 ． 15.设集合，，已知且，则的取值集合为 ． 16.已知，则的最小值为 ． 17.已知函数，则 ，若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 18.已知数集若存在，使得对任意都有，则称为完美集，给出下列四个结论： 存在，使得为完美集； 存在，使得为完美集； 如果，那么一定不为完美集； 使得为完美集的所有的值之和为． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 设，，， 分别求，． 若，求实数的取值范围． 20.本小题分 已知二次函数图象过点，且与反比例函数交于点， 求二次函数与反比例函数的表达式； 若对恒成立，求参数的取值范围． 21.本小题分 已知函数，其中，为常数，且，． 求，的值； 利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； 求函数在区间上的最大值和最小值． 22.本小题分 已知函数，且方程的一个根为． 求的值； 解关于的不等式； 已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 23.本小题分 已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． 若，，写出所有可能的集合； 若，，且是的倍数，求集合的个数； 若；证明：存在非空集合，使得是的倍数． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.，． 14. 15. 16. 17. 18. 19.解不等式可得，， 所以，或， 或． 由可得，且， 所以，解得，即． 20.解点在反比例函数的图象上，故有， 解得，从而反比例函数为． 又二次函数的图象过点，，， 解得 ． 由知，二次函数的表达式为， 故有在上恒成立， 即在上恒成立 ， 又， ，解得 21.由，，得，解得． 故． 设任取，且，由得，所以，． 因，得又因，，，即； 所以，即． 所以函数在区间上是减函数． 设任取，且，，． 因，得又因，，，即． 所以，即所以函数在区间上是增函数． 再由可知函数在区间上是减函数，在上是增函数． 所以时，，又，，． 所以时，． 故函数在区间上最大值为，最小值为． 22.方程为：， 化简得：， 代入，得：， 故． 由知，不等式化为： ， ... ...