2025-2026 学年天津市西青区杨柳青第一中学高二上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线 + 1 = 0 的倾斜角是( ) A. 2 3 4 B. 3 C. 3 D. 4 2.空间直角坐标系中，点 2,3,4 关于 平面的对称点是( ) A. 2, 3,4 B. 2, 3,4 C. 2,3, 4 D. 2,3,4 3.如图所示，已知三棱锥 ，点 ， 分别为 ， 的中点，且 = ， = ， = ，用 ， ， 表示 ，则 等于( ) A. 12 B. 1 12 + + C. 2 + D. 1 2 + 4.如图所示，直线 1: = 与 2: = + ( ≠ 0, ≠ )的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.直线 + 2 + 2 2 = 0，无论 取何值，该直线恒过定点( ) A. (1, 1) B. (1,1) C. ( 2,2) D. (2, 2) 6.若两平行直线 + 2 + = 0( > 0)与 2 6 = 0 之间的距离是 5，则 + =( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 2 7.已知直线 的方向向量为 = (1,0,2)，点 0,1,1 在直线 上，则点 1,2,2 到直线 的距离为( ) A. 2 30 B. 30 C. 30 3010 D. 5 8.在以下命题中： ①若两个非零向量 , 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 , 共线； 第 1页，共 9页 ②对空间任意一点 和不共线的三点 , , ，若 = 2 2 2 ，则 , , , 四点共面 ③若 , 是两个不共线的向量，且 = + , ∈ , , ≠ 0 ，则 , , 构成空间的一个基底： ④若 , , 为空间的一个基底，则 + , + , + 构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.如图，点 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1的侧面 1 1上的一个动点(包含边界)，则下列结论 不正确的( ) A.当 ⊥ 1时，点 一定在线段 1 上 B.当 为 1 的中点时，三棱锥 的外接球的表面积为 2 C.当点 在棱 1上运动时， + 1 的最小值为 3 + 1 D.线段 1上存在点 ，使异面直线 1与 3 所成角的正切值为4 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 10.已知向量 = 3,2,5 , = 1, , 1 ，且 ⊥ ，则 的值为 ． 11.已知向量 = (1,2,2), = ( 2,1,1)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ． 12.已知 1,2 , 4,3 ，直线 ： = 2 1 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围 ． 13.设两直线 1: 3 + + 4 = 5 3 与 2: 2 + 5 + = 8.若 1// 2，则 = ，若 1 ⊥ 2，则 = ． 14.已知直线 过点 1, 2 ，且在 轴和 轴上的截距互为相反数，则直线 的方程为 ． 15.如图，在正方体 1 1 1 1中， = 4，点 , 分别为 1 1, 1的中点， 则平面 1截正方体所得截面面积为 ，动点 满足 = + + 1 ， 1 且 + + 2 = ，则当 2 取得最小值时二面角 1 的余弦值为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2页，共 9页 16.已知 = (1,4, 2)， = ( 2,2,4)． (1)若 = 1 2 ，求 cos , 的值； (2)若( + )//( 3 )，求实数 的值； (3)若( + ) ⊥ ( 3 )，求实数 的值． 17 .已知平行六面体 1 1 1 1的底面是边长为 1 的菱形，且∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 3， 1 = 2． (1)证明： 1 ⊥ ； (2)求异面直线 1与 夹角的余弦值． 18.已知两条直线 1: 2 + 4 = 0, 2: 4 + 3 + 5 = 0, 1与 2的交点为 ． (1)求直线 2的斜率，以及它在 轴的截距： (2)求过点 ，且斜率为 3 的直线方程： (3)求过点 ，且与 3,3 ， 1,1 的距离相等的直线方程． 19.如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧面 ⊥底面 ，且 = = 2， ， 分别为棱 ， 的中点． (1)求证∶ ⊥ ； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值； (3)求点 到平面 的距离． 第 3页，共 9页 20.已知底面 是正方形， ⊥平面 ， // ， = = 3 = 3，点 、 分别为线段 、 的中点． (1)求证： //平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值； (3) 42 线段 上是否存在点 ... ...
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