北京市平谷中学 2025-2026 学年高三上学期第一次段考 数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1．下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A． y 2x 1 B． x y 1 0 C． y 1 D． x 2 2．从数字 1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取 2个不同的数，则这 2个数的和为偶数的 概率是（ ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 5 5 5 5 3．已知直线 l： y x 8，则下列结论正确的是（） A．点 2,6 在直线 l上 B．直线 l的一个方向向量为u 1,1 π C．直线 l在 y轴上的截距为 8 D．直线 l的倾斜角为 4 4．方程 x2 y2 2x 6y 1 0表示的圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A． 1, 3 ,3 B． 1,3 ,3 C． 1, 3 ,9 D． 1,3 ,9 r r 5．已知 a 1, 2, y ，b x,1, 2 ，且 2b// a b ，则（ ） 1 1 A． x ， y 1 B． x ， y 4 3 2 1 C． x 2， y D． x 1， y 1 4 6．过点 A 1,4 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A． x y 3 0 B． x y 5 0 C． 4x y 0或 x y 5 0 D． 4x y 0或 x y 3 0 7．若直线 l1 :ax 3y 1 0与直线 l2 : 2x a 1 y 1 0互相平行，则 a的值是（ ） A． 3 B． 2 C． 3或 2 D．3或 2 8．过点 (3,1)且与圆 x2 y2 4x 6 y 12 0相切的直线方程是（ ） A．3x 4y 13 0 B． 2x 3y 9 0或 x 3 试卷第 1页，共 5页 C． 2x 3y 9 0 D．3x 4y 13 0或 x 3 9．已知直线 l：kx y 1 k 0和圆C：x2 y2 4x 0，则直线 l与圆C的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 10．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动，则下列判断中正确的是 （ ） ① B1D 平面 ACD1； ② A1P∥平面 ACD1； ③三棱锥D1 APC的体积不变； π ④异面直线 A1P与 AD1所成角的取值范围是 0, . 3 A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④ 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11．若两条直线 ax 2y 1 0与3x 6y 1 0互相垂直，则 a的值为 . 1 3 12．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，则恰有一个 3 5 人译出密码的概率 . 13．写出一个关于直线 x y 1 0对称的圆的方程 . 14．已知圆C : (x 3)2 (y 4)2 1和两点 A( m,0)、 B(m, 0)（m 0），若圆上存在一点 P， 使得 APB 90 ，则m的最小值为 . 15 2 2．关于曲线C : x y x y ，给出下列四个结论： 2 ①曲线C上的点到原点的距离的最小值为 2 ②曲线C关于原点对称，也关于 x轴 y轴对称； 试卷第 2页，共 5页 ③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于 2； ④.曲线C围成的面积是 π 2； 其中，所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．空气质量指数 PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这 个值越高，就代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲 乙两城市 2013年 2月份中的 15天对空气质量指数 PM2.5进行监测，获得 PM2.5日均浓 度指数数据如茎叶图所示： (1)根据你所学的统计知识估计甲 乙两城市 15天内哪个城市空气质量总体较好？并说明理 由. (2)在 15天内任取 1天，估计甲 乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； 17．如图， PA 平面 ABC， AB BC， AB PA 2BC 2，M 为 PB的中点. (1)求证： AM 平面 PBC ； (2)求二面角 A PC B的余弦值. (3)点 B到平面 PAC的距离 试卷第 3页，共 5页 18．已知圆 M过点 A 0, 3 ,B 1,0 ,C 3,0 (1)求圆 M的方程； (2)过点 (0,2)的直线 l与圆 M相交于 D E两点，且 DE 2 3，求直线 l的方程. 19．某公司购买了 A，B， ... ...
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