7.3.1 函数的周期性 通过对生活中和数学中的周期现象的分析,抽象概括出周期函数的定义. 掌握正弦、余弦、正切函数的最小正周期,并会求一些简单三角函数的周期. 说一说：在我们的生活中，还存在哪些周而复始的现象呢？ 星期制 二十四小时制 想一想：三角函数有没有类似的特征？ 每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦函数值、余弦函数值也分别相同．即有 sin(x＋2π)＝sin x ，cos(x＋2π)＝cosx 由单位圆中的三角函数线可知，正弦函数值、余弦函数值的变化呈现出周期现象． 周期性 这个形式能推广成函数的一般形式吗？ 若记 f (x)＝sin x，则对于任意x∈R，都有 f ( x +2 π) = f (x) ． 1.函数的周期性 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个_____，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且_____，那么函数f(x)就叫作周期函数._____ 叫作这个函数的周期. 非零的常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 注意： 1.T必须是常数，且不为零. 2. 必须对定义域内的任意x都成立. 1.判断下列说法是否正确，并简述理由： （1） 时， ,则 一定不是 的周期.( ) √ （2） 时， ,则 一定是 的周期.( ) × 练一练 思考1：y=sinx的周期唯一吗？为什么？ 单位圆中三角函数线说明2π是y=sinx(x∈R)周期，4π,6π，…以及-2π， -4π，…都是正弦函数周期. T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期 (k为非零整数) . 思考2:1.y=sinx的周期当中存在最小值吗？ 2. y=sinx的周期当中存在最大值吗？ 3.在y=sinx所有正数周期中有最小值吗？ 一般地，对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的 . 说明:今后所说周期,如不作特殊说明,均指最小正周期. 结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，它们最小正周期都是2π；正切函数也是周期函数，其最小正周期是π. 2.最小正周期 最小正周期 思考3：常数函数，一次函数，二次函数，是否是周期函数？是否存在最小正周期？你能举例说明吗？ 1.常数函数是周期函数. 3.常数函数没有最小正周期，如f(x)=1. 2.任何一个非零常数都是它的周期. 例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度. 解：（1）由图象可知，该函数的周期为1.5s. （2）设 h=f(t)，由函数 f(t)的周期为1.5s，可知 f(10)=f(1＋6×1.5)=f(1)=20. 所以t =10 s时钟摆的高度为20mm. 例2 求函数 f(x)=cos 2x 的周期. 解：设 f(x)周期为 T，则 f(x＋T)= f(x)，即 cos2(x＋T)=cos2x 对任意实数 x 都成立.也就是 cos(u＋2T) = cosu 对任意实数 u 都成立，其中 u = 2x. 由 y=cos u 的周期为2π，可知使得cos(u＋2T)= cosu对任意实数 u 都成立的2T的最小正值为2π ，可知 2T=2，即 T= π. 所以f(x)= cos 2x的周期为 π. 练一练 2.求函数f(x)＝sin 3x的周期. 解：设f(x)的周期为T, 试一试：根据上面的例题和练习, 你能求得函数????=????????????????(????????+????), ?????????, (????, ????, ???? 为常数, ????>0) 的周期吗? ? ????sin(????????+φ) =????sin(????????+φ+2π)=????????????????????????+2????????+???? ? ∴????=????sin(????????+φ)的周期是????=2???????? ? 解：因为对一切实数都有 当????<0时,周期为????=2???????? ? 求三角函数周期的方法： (①)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：利用以上三个公式求解. (3)图象法：由函数的图象观察得到周期. 要点归纳 A.6π B.3π C.2π D.π A 2.若函数????????=?????????????????????????6????>0的最小正周期是????，则????=_____ ? 3.若函数????????是以2为周期的函数，且????2=2，则????4=_____ ? 2 ? 2 ? 4.一机械振动中，某质点离开平衡位 ... ...
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