2025-2026学年辽宁省辽西重点高中高二上学期10月联考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知正方体的棱长为，若，，，则( ) A. B. C. D. 2.在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为( ) A. B. C. D. 3.在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 4.如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 5.已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则( ) A. B. C. D. 6.如图，正方形中，，，是的中点将沿折叠到的位置，使得平面平面如图，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 8.在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则周长的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个结论错误的是( ) A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 10.在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 11.若点，到直线：的距离相等，则下列结论可能成立的是( ) A. 过原点 B. 过点 C. 且 D. 直线可能过点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，已知，，，则_____． 13.在正四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是_____． 14.已知实数，满足，则最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，已知正方体中，为棱上的动点． 求证：； 若平面平面，求证：为的中点． 16.本小题分 如图，在三棱锥中，平面，，，，点在上，且，点是线段上的动点． 求异面直线与所成角的余弦值； 当是的中点时，求与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． 经过直线：与直线：的交点，且与直线平行的直线的方程； 已知点，求线段的垂直平分线的方程； 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等． 18.本小题分 在三棱锥中，，分别是，的中点，且． 求． 已知． 证明：平面． 若，分别是线段，上的一个动点，且，求的最大值． 19.本小题分 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，定义直线经过点且以为方向向量，平面经过点且以为法向量． 若是平面内的任意一点，求证：； 另有平面的方程为，直线是平面与的交线，求直线与平面所成角的余弦值； 设点是空间任意一点，记向量求证：点到直线的距离与点到平面的距离满足关系式：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.或 13. 14. 15. 证明：如图， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，， ，， 设，，， 则， 所以，即； 设平面和平面的法向量分别为，， 因为， 所以，即，令，则，则， ，即，令，则，则， 因为平面平面，所以， 则，即， 所以当为的中点时，平面平面． 16. 证明：设建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 当是的中点时，，则， 设平面的法向量为， 则，， 令，， 设与平面所成角为， 则． 与平面所成角的正弦值为． 17. 根据，解得，可知直线、交于点． 若一条直线经过点，且与平行， 则该直线的方程为，即 ... ...
