2025-2026学年沈阳市沈文新高考研究联盟高二上学期 10月质检 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列命题中，假命题是( ) A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. | | = | |是向量 = 的必要不充分条件 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 2.在四面体 中， = ， = ， = ，且 = 2 ， = ，则 等于( ) 2 1 1 2 1 1 A. + B. + + 3 2 2 3 2 2 2 1 1 2 1 1C. + D. + 3 2 2 3 2 2 → → → → → → → 3.已知向量 = (2,1,1), = (9, , ), 与5 共线，则| | =( ) 7√ 6 9√ 6 A. B. 6√ 3 C. D. 8√ 3 2 2 4.已知空间三点 (4,1,3)， (2,5, 3)， (3, , 0)共线，则实数 的值为( ) A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 5.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ， ，则 ⊥ C. 若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D. 若 // ， ， ∩ = ，则 与 相交 6.如图，边长为2的正方体的一个顶点 在平面 内，其余顶点在 的同侧，且点 和点 到平面 的距离均 为√ 2，则平面 与平面 的夹角的余弦值为( ) 2 1 1 1 √ 2 1 √ 6 A. B. C. D. 2 2 3 6 第 1 页，共 9 页 7.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内， 求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在 中，若三个内角均小于120 ，则当 点 满足∠ = ∠ = ∠ = 120 时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称为费马 点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个互相垂直的向量，且| | = 2, | | = 3，则| | + | + | + | |的最小值是( ) A. 3 2√ 3 B. 3 + 2√ 3 C. 2√ 3 2 D. 2√ 3 + 2 1 8.在平面直角坐标系中，定义： = (| 1 2| + | 1 2| ) ，其中 ( 1, 1)， ( 2, 2).若 , ∈ ， 且 < ，则下列结论错误的是( ) A. 若 , 关于 轴对称，则 = B. 若 , 关于直线 = 对称，则 ≥ C. 若 = 2 ，则 = 2 D. 若 = { | ≤ 1}， = { | ≤ 1}，则 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，已知四面体 ，点 , 分别是 , 的中点，下列说法正确的是( ) A. + + = B. + = 1 C. + ( + ) = D. + = 2 10.已知点 ( 1,1)， (2,1)，且点 ( , )在直线 ： + + 2 = 0上，则( ) 2 2 39A. + 2 的最小值为 B. | | + | |的最小值为√ 29 8 C. 存在点 ，使得 1 = D. 存在点 ，使得2| | = | | 4 11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字 “8”对应着数学曲线中的双纽线.在 平面上，把与定点 ( , 0)， ( , 0)距离之积等于 2( > 0)的动 点的轨迹称为双纽线.曲线 是当 = 2时的双纽线， 是曲线 上的一个动点，则下列结论正确的是( ) A. 点 的横坐标的取值范围是[ 2,2] B. | |的最大值是2√ 2 C. 面积的最大值为2 D. | | + | |的取值范围是[4,4√ 2] 第 2 页，共 9 页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.设平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，则点 到平面 的距离 = ． 13.设点 ( 2,0)和 (0,3)，在直线 ： + 1 = 0上找一点 ，使| | + | |的取值最小，则这个最小值 为 ． 14.△ 是等腰直角三角形，∠ = 90°， = √ 2，点 满足 = ，点 是 所在直线上一点，若 = + ，则 + 2 = _____；向量 在向量 上的投影向量记为 ，则实数 的取值范围 | | 为_____． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知直线 ： = + + 1． (1)求证：直线 恒过定点 ( 1,1)； (2)已知两点 ( 4,4)， (0,2).过点 ... ...
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