黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026届高三上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2026届高三上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知复数 = 2 i，则 的虚部是( ) A. 1 B. 1 C. i D. 2.向量 = (1, )， = ( 1,1)，若 // ，则 =( ) A. ±1 B. 1 C. 1 D. 0 3.已知函数 ( )在[ 3,3]上的大致图象如图所示，则 ( )的解析式可能是( ) sin cos cos A. ( ) = 2 B. ( ) = 2 C. ( ) = D. ( ) = 2cos 4.已知 = (0, 1)， = (4,4)，则 在 上的投影向量为( ) 1 1 1 1 A. (0,4) B. (0, 4) C. ( , ) D. ( , ) 2 2 2 2 5.“ ∈ ， 2 + + 2 > 0”的一个必要不充分条件是( ) A. < 0 B. ≤ 0 C. > 0 D. ≥ 0 π π π 6.若 < < ，cos 2sin = √ 2，sin + 2cos = 1，则cos ( + ) =( ) 2 2 3 √ 3 √ 6 √ 3 √ 6 A. B. C. D. 3 3 3 3 3 7.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = ( )，且 (1 + ) + (2 ) = 2， ( 1) = 0， ′( )为 ( ) 2 的导函数，则下列说法错．误．的是( ) A. 3为 ( )的一个周期 B. ( )关于点(0,1)对称 C. ′( )是偶函数 D. ∑2024 =1 ( ) = 2025 8.已知圆锥底面半径为3，母线长为5，在圆锥内放置一个长方体，使其可以在圆锥内部随意转动，则该长 方体体积最大值为( ) A. √ 3 B. 2√ 3 C. 3√ 3 D. 6√ 3 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 第 1 页，共 10 页 9.已知{ }为等差数列，其前 项和为 ， 1 = 12， 5 = 8，则下列结论正确的有( ) A. 7 = 0 B. 5 = 40 C. 当且仅当 = 6时， 最大 D. 满足 > 0的最大整数 为14 π π 10.已知函数 ( ) = 4tan( + ) ( > 0, < < )的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( ) 2 2 A. = 4 B. = 8 23π C. 函数 = | ( )|的图象关于直线 = 对称 24 5π D. 函数 = ( )的图象可由 ( ) = 4tan 向右平移 个单位长度得到 24 2 2 2 2 11.椭圆 1： + = 1左右焦点分别为 1， 2，双曲线 2： 2 2 = 1( > 0, > 0)与椭圆 的焦点相2 1 同， 是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是( ) π 2 A. 若∠ 1 2 = ，则 · 3 1 2 = 3 π 2 2 B. 若∠ 1 2 = ，则双曲线 的方程为 = 1 4 2 3 2√ 2 2√ 2 2 1 C. 若 1 2的内切圆的圆心为 ， ≥ ，则双曲线的离心率取值范围是(1,5] 1 2 5 1 2 D. 若 1与 轴交于点 ， 2 平分∠ 2 1，则双曲线的离心率大于2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知 是等比数列{ }的前 项和，若 10 = 3，则 20 = ． 5 10 13.已知函数 ( ) = log ( 21 + 2 + 8)在(0,2)上单调递增，则实数 的取值范围是 ． 2 2π 14.如图， 中，∠ = ， ， 是线段 上的两个点， 为等边三角形， = 9 ，则 3 cos∠ = ． 第 2 页，共 10 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数 ( ) = sin ， > 0． π (1)若函数 = ( )的最小正周期为 ，求函数 = ( ) √ 3cos2 在(0, )上的值域； 2 √ 3 (2)若 = 1，在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，其中 满足 ( ) = ， = 4，求 的 2 最小值． 16.(本小题15分) 已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (1,0)，过点 (2,1)的直线 与抛物线交于 ， 两点． (1)求抛物线 的方程； (2)求| | | |的最小值． 17.(本小题15分) 如图，在矩形 中， = 1， = 2， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，使得平面 ⊥ 平面 ． (1)证明：平面 ⊥平面 ； (2)设 为线段 上的动点，求直线 与平面 所成角正弦值的最大值． 18.(本小题17分) 已知{ }是公差不为零的等差数列， 2 = 3，且 1， 3， 7成等比数列，数列{ }的前 项和 = 2 1． (1)求数列{ }和{ }的通项公式； (2)设 = ， 为数列{ }的前 项和． ( )求 ； ( )若对于 ∈ ，∑ + ... ...