2.3.1 一元二次不等式及其解法 课件（共23张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 一元二次不等式及其解法 一 　　许多实际问题都可以转化为不等式问题，例如： 　　问题　如今，智慧农业深入民心，通过科学种植可以大幅提高农产品的产量和品质.实践证明，果树栽培过程中，如果栽种密度过大，果树之间的透气性就会收到影响，不能保证有足够的光照，水果的产量和品质都会收到影响.通过数据分析，在某果园种植面积不变的情况下，如果种植50棵果树，平均每棵树可以产苹果600个.如果种植密度增加，每多种一棵树，平均每棵树就会减少产果5个.如果使水果总产量不少于33000个，应该如何安排果树种植数量？ 一元二次不等式及其解法 一 　　分析　按照目前情况，果园水果产量为50×600=30000（个），所以需要增种果树才能增产. 设要增种x棵果树，增种后平均每棵树产果（600-5x）个，根据题意得 （600-5x）（50+x）≥33000， 整理得 -5x2+350x-3000≥0， 即 x2-70x+600≤0. 只要求得以上不等式的解集，就得到了问题的答案. 一元二次不等式及其解法 一 　　我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 　　怎样求上面一元二次不等式的解集呢？ 　　从2.2节我们知道，一元二次方程与相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是对应二次函数的零点．那么，一元二次不等式和相应的二次函数是否也有类似的联系呢？ 一元二次不等式及其解法 一 　　解一元二次方程x2－70x+600=0，得两个实数根 x1=10，x2=60． 　　然后画出二次函数y= x2－70x+600的图象，如图2.3-1所示. 一元二次不等式及其解法 一 　　观察图象可知，当x<10或x>60时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2－70x+600>0；当100(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集.我们可由二次函数的零点与一元二次方程根的关系，先求出对应一元二次方程的根，再根据二次函数的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式的解集. 　　由于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象可根据零点个数分为Δ>0，Δ=0，Δ<0三种情况，因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解集. 一元二次不等式及其解法 一 　　计算判别式Δ＝b2－4ac. 　　1. 当Δ＞0时，先求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1和x2(不妨设x1＜x2)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2.3-2(1)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2 ，＋∞)，不等式ax2＋bx＋c ＜0的解集为(x1 ， x2)． 一元二次不等式及其解法 (1) 　　　　　　　　　　(2)　　　　　　　　　　　　 (3) 图2.3-2 一 　　2. 当Δ＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点 在x轴上，其余部分都在x轴的上方，如图2.3-2(2)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为. 一元二次不等式及其解法 一 　　3. 当Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部位于x轴的上方，如图2.3-2(3)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，＋∞)，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为. 　　因此，解形如ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(其中a＞0)的一元二次不等式，一般可分为三步： 　　(1)确定对应一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的根； 　　(2)画出对应二次函数y＝ ax2＋bx＋c的大致图象； 　　(3)由图象得出不等式的解集． 　　对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式， 可以先把二次项系 ... ...