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课件网) 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 题型觉醒 题型一 二次函数模型 1.（2025合肥八中期中）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触 目红”,是隋炀帝眼中的“灯树千光照,花焰七枝开”.烟花,虽然是没有根的花,是虚幻的花,却 在达到最高点时爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位:米）与时间（单位:秒）之间的关系式为 ,则烟花在冲击后爆 裂的时刻是( ) A A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 【解析】 由题意, ,则当时, 取最大值，即烟花达到最高点,爆裂的时刻是第4秒. 2.（2025广东深圳期中）甲、乙两城相距,在两城之间距甲城 处的丙地建一 核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上）,为保证城市安全,核电站距两 城的距离不少于.已知各城供电费用（元）与供电距离 的平方和供电量 （亿千瓦时）之积都成正比,比例系数均是 ,若甲城供电量为20亿千瓦时/月,乙城 供电量为10亿千瓦时/月.（1）月供电总费用（元）与 的函数关系式为_____ _____；（2）月供电总费用最小为_____元. , 【解析】 （1）由题意知, ，经化简得 ,定义域为 . （2）将（1）中函数配方为 , 所以当,即核电站距甲城时,月供电总费用最小,为 元. 3.（2025辽宁沈阳一中期中）某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台 的收入（单位：元）函数为 ,其成本（单位：元）函数为 ,利润是收入与成本之差. （1） 求利润函数及利润函数 的最大值； 【答案】 由题意知,, , , 所以当或时, 取得最大值,为74 120 元. 所以利润函数, 的最大值为74 120 元. （2） 为了促销,如果每月还需投入500元的宣传费用,设每台产品的利润为,求 的大值及此时 的值. 【答案】 依题意,得 , 当且仅当,即 时等号成立. 所以当时,每台产品的利润 取得最大值，为1 900元. 题型二 分段函数模型 4.（2025江苏南京期中统考）学校宿舍与办 公室相距 .某同学有重要材料要送交给老 师,从宿舍出发,先匀速跑步 来到办公室, 停留,然后匀速步行 返回宿舍.在 这个过程中,这位同学行进的速度 和行走的路程 都是时间 的函数,则速度函数和路程函数的示意图分 别是下面四个图象中的( ) A A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 【解析】 由题可知, 由速度函数及路程函数的解析式可知,其图 象分别为①②. 5.（2025广东揭阳检测）某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：如果顾客选购物品的总 金额不超过1 000元,则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1 000元, 则超过1 000元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 超过500元的部分 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元,则他实际所付金额为_____元. 1 610 【解析】 设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当 时,；当时, ,令 ,得,解得 ,不符合题意. 当 时, ,令 ,所以 ,解得,符合题意,所以他实际所付金额为 （元）. 6.（2024湖南衡阳一中月考）长沙市地铁8号线项目正在进行中,通车后将给市民带来便 利.该线路通车后,列车的发车时间间隔（单位：分）满足 ,经市场调研测算, 列车载客量与发车时间间隔相关,当 时,列车处于满载状态,载客量为600人, 当时,载客量会减少,减少的人数与 成正比,且发车时间间隔为2分钟时 的载客量为280人,记列车载客量为 . （1） 求 的表达式,并求当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量. 【答案】 显然当时, , 当时,设 , 当时,,即,解得 , 故 , 故 当时, ,故当发车时间间隔为5分钟时,载客量为475 人. （2） 若该线路每分钟的净收益（单位：元） ,则当发车时间 间隔为多少时,该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值. 【 ... ...
