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课件网) 第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 5.2.2 同角三角函数的基本关系 题型觉醒 高频题型：题型一、题型二 题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 1.（2025湖北武汉期中）大招67已知,且,则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 在直角三角形中求解.如图,将角 看成锐角,令角 对边为3,斜边为5, 则邻直角边为4,又,所以,所以 . 则 . 因为,且,则 ,所以 ,（,注意根据 的终边所 在位置进行取舍） . . 2.（2025江苏泰州期末）已知,角 的终边不在轴上,则 ( ) B A.0 B. C. D. 【解析】 由且角 的终边不在 轴上,（ 这个条件是为使 有意义） 解得则 . 将平方得， ，又 ，所以，即 ，故 . . . 3.（2025重庆巴蜀中学月考）若,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 由,得 . （根据同角三角函数的基本关系可知 ） . . 4.（多选/2025江西南昌质检）下列四个命题中不可能成立的是( ) ACD A.且 B.且 C.且 D. 为第二象限角 【解析】 对于A,由,,得,与 矛盾, 所以命题不成立； 对于B,当 时,, ,所以该命题可能成立； 对于C,因为,,所以,则 ,与 矛盾,所以命题不成立； 对于D,因为 为第二象限角,所以, ,由同角三角函数的基本关系， ,所以 不可能成立. 题型二 与 关系的应用 题组一 直接应用 求值 5.（多选/2025甘肃平凉期末）已知, ,则下列结论正确的是 ( ) AD A. B. C. D. 【解析】 因为 ,① 所以,则.因为 ,所以 ,,所以 . ,所以.② 【另解】 因为 ,,所以,又 ,将 代入得,. 由①②联立可得,, . . . . 6.（2025江西萍乡检测）已知,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为 , 所以,又,所以 , 可画出单位圆,利用三角函数定义比较大小 则, . . . 题组二 与三角形相结合 7.（2025广西贵百河联考）已知 是三角形的一个内角,且 ,那么这个三 角形的形状为( ) B A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 要判断三角形的形状,即判断 所在象限,即可转化为判断三角函数值的符号. 【解析】 由,得,即 ,所以 ,因为 是三角形的一个内角,有,,所以 , 则 ,即这个三角形为钝角三角形. 8. 若角是的一个内角,且,则 ____. 【解析】 因为角是的一个内角,所以,所以 ,又 ,所以,所以 （ 若不能挖出这一隐含 条件,本题就易得到两个值,导致错误）,则 . . . 题组三 与一元二次方程相结合 9. 已知 , 是关于的方程的两个根,则 的 值为( ) D A.随的变化而变化 B. C. D. 【解析】 因为 , 是关于的方程 的两个根, 所以, , 所以 , 又 ,所以 （根据平方关系得到 关于的方程是解题的关键）,即,解得 , 由题意易知,解得或（ 挖掘题目隐含的 的取值 范围）,所以 . 所以 . . . . . 10.（2025湖南长沙期中）已知关于的方程的两根为 , , . （1） 求 的值； 【答案】 关于的方程的两根为 , , , , . （2） 求 的值； 【答案】 ,由（1）得 ,则 ,得,解得 ,此 时 ,符合题意. （3） 求 的值. 【答案】 由题意及（1）（2）得,, . ,,,,即 . 又 , , 解得 . 由（1）（2）可得 ,① .② 由①得,则,即 , ,解得或 , 由①②及可得,,且, ,故 . 题型三 已知 求值 11. （2025湖南岳阳一中检测）若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 构造对偶式.因为,设 ,所以 ,则 . 因此,从而,所以 . 齐次化应用.由 两边同时平方,得 ,（整式型齐次式） 即（分母进行的代换） （除余化切后化为分式型齐次式）,整理得,解得 . . . . . . . 由,得,代入 ,得 ,即,解得 ,所以 ,则 . 设,则,代入 ,得 ,则 . 代入,整理得,即, . 本题涉及符合勾股定理的数字“1,2,”,由知 , ,则 . 坑神来避坑 已知这类式子,尽管可以和联立求出 和 ,但若数字复杂,则计算量大;先平方,再弦化切也是一个可以考虑的方向. 12.（2025贵州六盘水期末）已知,其中 ,则 _ ____. 待求式和已知式正好互为对偶 ... ...
