2.2 从函数观点看一元二次方程 课件（共18张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 从函数观点看一元二次方程 一 　　二次函数与一元二次方程是我们学习过的两个重要内容，它们之间有着怎样的关系呢？ 　　先观察几个具体的一元二次方程及对应的二次函数，如： 　　(1) 一元二次方程x2－4x+3=0与二次函数y=x2－4x+3； 　　(2)一元二次方程x2－4x+4=0与二次函数y=x2－4x+4； 　　(3)一元二次方程x2－2x+3=0与二次函数y=x2－2x+3． 从函数观点看一元二次方程 一 　　 　　容易知道，一元二次方程x2－4x+3=0有两个实数根x1=1，x2=3；二次函数y=x2－4x+3的图象与x轴有两个交点(1，0)，(3，0)，如图2.2-1(1)．这样，方程x2－4x+3=0的两个实数根就是函数y= x2－4x+3的图象与x轴交点的横坐标． 从函数观点看一元二次方程 (2) (1) (3) 图2.2-1 一 　　一元二次方程x2－4x+4=0有两个相等的实数根x1=x2=2；二次函数y=x2－4x+4的图象与x轴有唯一的交点(2，0)，如图2.2-1(2)．这样，方程x2－4x+4=0的实数根就是函数y=x2－4x+4的图象与x轴交点的横坐标． 　　一元二次方程x2－2x+3=0没有实数根；二次函数y=x2－2x+3的图象与x轴没有交点，如图2.2-1(3)． 　　上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0及对应的二次函数y=ax2+bx+c是否也成立呢？ 从函数观点看一元二次方程 一 　　一般地，设判别式Δ=b2－4ac，我们有： 　　(1)当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，对应二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)； 　　(2)当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2 ，对应二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0) ； 　　(3)当Δ<0时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有交点． 从函数观点看一元二次方程 一 　　根据以上归纳，可得如下表格： 从函数观点看一元二次方程 一 　　一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点．例如，1，3是二次函数y=x2－4x+3的两个零点，2是二次函数y=x2－4x+4的唯一零点，二次函数y=x2－2x+3没有零点． 　　这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标． 从函数观点看一元二次方程 一 从函数观点看一元二次方程 　　　　二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2.2-2所示， 根据图象解答下列问题： 　(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根； 　(2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根， 求k的取值范围． 例 1 图2.2-2 一 从函数观点看一元二次方程 　　解　(1)观察图象可知，二次函数的图象与x轴交于(1，0)，(3，0)，故方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3． 　　(2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k有两个不同的交点．观察图象可知，二次函数图象的顶点纵坐标为2，所以只有当k<2时才能满足条件． 一 从函数观点看一元二次方程 　　　　已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0，－3)，与x轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式． 　解　由二次函数的图象与y轴交于点A(0，－3)知，c=－3． 　设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1，x2是一元二次方程 　x2+bx－3=0的两个根，由根与系数的关系知x1+x2 =－b， x1x2 =－3， 　所以　　　　　=(x1+x2)2－2x1x2 　　　　　　　 = b2+6=15， 　解得　b=±3. 　故所求二次函数的表达式为y=x2+3x－3 或y=x2－3x－3． 例 2 　　一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系为 　　　　　　　　， 一 从函数观点看一元二次方程 　　1. 利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个根. 　　(1) －x2+4x+3=0； 　　　(2) 2x(x－2)+3=0； 　　(3) －2x2+x+3=0； 　　　(4 ... ...