15.4.2等腰三角形的“三线合一” 课件（共36张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：15.4.2 等腰三角形的 “三线合一” 副标题：深入探究等腰三角形的核心性质 教师姓名：[教师姓名] 授课日期：[具体日期] 幻灯片 2：复习回顾与情境引入 复习回顾：上节课学习了等腰三角形的边角性质，知道等腰三角形的两个底角相等，即 “等边对等角”。同时还了解到等腰三角形具有 “三线合一” 的特性，这一性质是等腰三角形区别于其他三角形的重要标志，本节课将对 “三线合一” 进行深入探究。 情境引入：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，若不小心将等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这三条线中的一条擦掉了，能否利用剩下的线把擦掉的线补画出来？这就需要我们深入理解 “三线合一” 的性质。 学习目标： 深刻理解等腰三角形 “三线合一” 的含义，明确 “三线” 所指的具体内容。 掌握 “三线合一” 性质的证明方法，能从不同角度进行推导。 能熟练运用 “三线合一” 性质解决几何证明、线段和角度计算等问题。 体会 “三线合一” 在等腰三角形问题中的核心作用，提升几何推理能力。 幻灯片 3：“三线合一” 的定义解读 “三线” 的含义：在等腰三角形中，“三线” 指的是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高。 “合一” 的含义：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即这三条线实际上是同一条线。 符号表示：在△ABC 中，AB=AC， 若 AD 是∠BAC 的平分线，则 AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高）。 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 是∠BAC 的平分线，且 AD⊥BC。 若 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高），则 AD 是∠BAC 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。 图示说明：在等腰三角形 ABC 中，画出一条线 AD，分别标注出当 AD 是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高时的情况，展示三条线重合的现象。 幻灯片 4：“三线合一” 的证明（角度一：以顶角平分线为已知条件） 已知与求证： 已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D。 求证：AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC。 证明过程：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）， ∴∠BAD=∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， AB=AC（已知）， ∠BAD=∠CAD（已证）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SAS）。 ∴BD=CD（全等三角形对应边相等），即 AD 是 BC 边上的中线。 ∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。 又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义）， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高）。 结论：当 AD 是顶角平分线时，AD 同时也是底边上的中线和底边上的高，验证了 “三线合一”。 幻灯片 5：“三线合一” 的证明（角度二：以底边上的中线为已知条件） 已知与求证： 已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，即 BD=CD。 求证：AD 是∠BAC 的平分线，且 AD⊥BC。 证明过程：在△ABD 和△ACD 中， AB=AC（已知）， BD=CD（已知）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）。 ∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 是∠BAC 的平分线。 ∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。 又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义）， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC。 结论：当 AD 是底边上的中线时，AD 同时也是顶角平分线和底边上的高，再次验证 “三线合一”。 幻灯片 6：“三线合一” 的证明（角度三：以底边上的高为已知条件） 已知与求证： 已知：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，即∠ADB=∠ADC=90°。 求证：AD 是∠BAC 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。 证明过程：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， AB=AC（已知）， AD=AD（公共边）， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。 ∴∠BAD=∠CAD（全等三 ... ...