(
课件网) 幻灯片 1：封面 标题：综合与实践 最短路径问题 副标题：运用轴对称解决距离最短问题 背景图：展示一幅牧马人从营地出发，先到河边饮水再到草地放牧的场景示意图，引发对最短路径的思考。 幻灯片 2：学习目标 理解最短路径问题的实际意义，能将实际问题转化为几何图形中的距离问题。 掌握运用轴对称知识解决 “两点一线”“两点两线” 等类型最短路径问题的方法。 体会转化思想在解决最短路径问题中的应用，提升几何建模和逻辑推理能力。 幻灯片 3：情境引入 ——— 生活中的最短路径 情境 1：如图，小明从家出发去学校，想先到河边洗手，再去学校，怎样走路线最短？ 情境 2：在公路两侧有两个村庄，要在公路上建一个公交站，使公交站到两个村庄的距离之和最短，公交站应建在何处？ 核心问题：这些实际问题都可以抽象为几何中的最短路径问题，即如何在平面内找到两点之间或点到线再到点的最短距离。 幻灯片 4：复习回顾 ——— 两点之间的距离 基本事实：两点之间，线段最短。这是解决最短路径问题的基础原理。 轴对称性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等。利用轴对称可以将不在同一直线上的点转化到同一直线上，从而运用 “两点之间线段最短” 解决问题。 图形示例：展示两点 A、B 及直线 l，通过作 A 关于 l 的对称点 A'，说明 A 到直线 l 上一点 P 再到 B 的距离等于 A' 到 P 再到 B 的距离，即 AP + PB = A'P + PB。 幻灯片 5：问题探究（一）———牧马饮水” 问题 问题描述：如图，牧马人从点 A 出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到点 B，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 转化为几何问题：在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小。 解决思路： 作点 A 关于直线 l 的对称点 A'。 连接 A'B，交直线 l 于点 P。 点 P 即为所求，此时 PA + PB = A'B，路径最短。 原理证明：在直线 l 上任取另一点 P'，连接 PA、P'A、P'A'、P'B。因为点 A 与 A' 关于 l 对称，所以 PA = PA'，P'A = P'A'。因此 PA + PB = PA' + PB = A'B，P'A + P'B = P'A' + P'B。根据 “两点之间线段最短”，A'B < P'A' + P'B，所以 PA + PB < P'A + P'B，即点 P 使 PA + PB 最小。 幻灯片 6：“牧马饮水” 问题的应用示例 例题 1：如图，在平面直角坐标系中，点 A (1, 3)，点 B (4, 2)，直线 l 为 x 轴，在 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小，并求出点 P 的坐标和 PA + PB 的最小值。 解题步骤： 作点 A 关于 x 轴的对称点 A'(1, -3)。 设直线 A'B 的解析式为 y = kx + b，将 A'(1, -3)、B (4, 2) 代入得：\(\begin{cases}k + b = -3 \\ 4k + b = 2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k = \frac{5}{3} \\ b = -\frac{14}{3}\end{cases}\)，所以直线 A'B 的解析式为\(y = \frac{5}{3}x - \frac{14}{3}\)。 令 y = 0，得\(\frac{5}{3}x - \frac{14}{3} = 0\)，解得 x = \(\frac{14}{5}\)，所以点 P 的坐标为 (\(\frac{14}{5}\), 0)。 PA + PB 的最小值为 A'B 的长度，根据两点间距离公式，A'B = \(\sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\)。 幻灯片 7：问题探究（二）———造桥选址” 问题 问题描述：如图，A、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 转化为几何问题：在两条平行直线 a、b（河的两岸）之间找一条垂线段 MN（桥），使 AM + MN + NB 的值最小。 解决思路： 将点 A 沿与河垂直的方向平移河宽的距离到 A'。 连接 A'B，交直线 b 于点 N。 过点 N 作 NM⊥a 于点 M，连接 AM。 桥 MN 即为 ... ...
