2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程 课件（共34张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：2.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程 副标题：化繁为简，直接求解 姓名：[教师姓名] 日期：[授课日期] 幻灯片 2：复习回顾 一元二次方程的一般形式：\(ax + bx + c = 0\)（\(a 0\)） 思考：对于一些特殊形式的一元二次方程，是否有更简便的解法？例如方程\(x = 25\)，我们可以直接得出\(x = ±5\)，这种解法就是今天要学习的直接开平方法。 幻灯片 3：直接开平方法的适用形式 基本形式：如果一元二次方程可以化为\(x = p\)（\(p\)为常数）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。 拓展形式：对于方程\((mx + n) = p\)（\(m 0\)，\(p\)为常数），也可以运用直接开平方法求解，把\(mx + n\)看作一个整体。 幻灯片 4：直接开平方法的原理 根据平方根的定义：如果\(x = p\)，那么\(x\)叫做\(p\)的平方根。 当\(p 0\)时，方程有两个不相等的实数根，\(x = ±\sqrt{p}\)。 当\(p = 0\)时，方程有两个相等的实数根，\(x = x = 0\)。 当\(p 0\)时，因为在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。 幻灯片 5：例题讲解 1 - 基本形式\(x = p\) 题目：解下列方程 （1）\(x = 16\) （2）\(x = 0\) （3）\(x = -9\) 解答 （1）根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{16} = ±4\)，所以方程的根为\(x = 4\)，\(x = -4\)。 （2）根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{0} = 0\)，所以方程的根为\(x = x = 0\)。 （3）因为\(-9 0\)，在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。 幻灯片 6：例题讲解 2 - 先整理为基本形式 题目：解下列方程 （1）\(x - 25 = 0\) （2）\(2x - 8 = 0\) 解答 （1）移项得\(x = 25\)，根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{25} = ±5\)，所以方程的根为\(x = 5\)，\(x = -5\)。 （2）移项得\(2x = 8\)，两边同时除以\(2\)得\(x = 4\)，根据平方根的定义，得\(x = ±\sqrt{4} = ±2\)，所以方程的根为\(x = 2\)，\(x = -2\)。 幻灯片 7：例题讲解 3 - 拓展形式\((mx + n) = p\) 题目：解下列方程 （1）\((x + 3) = 16\) （2）\((2x - 1) = 5\) （3）\((x - 2) = -3\) 解答 （1）把\(x + 3\)看作一个整体，根据平方根的定义，得\(x + 3 = ±\sqrt{16} = ±4\)。 当\(x + 3 = 4\)时，\(x = 4 - 3 = 1\)。 当\(x + 3 = -4\)时，\(x = -4 - 3 = -7\)。 所以方程的根为\(x = 1\)，\(x = -7\)。 （2）把\(2x - 1\)看作一个整体，根据平方根的定义，得\(2x - 1 = ±\sqrt{5}\)。 当\(2x - 1 = \sqrt{5}\)时，\(2x = 1 + \sqrt{5}\)，\(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)。 当\(2x - 1 = -\sqrt{5}\)时，\(2x = 1 - \sqrt{5}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。 所以方程的根为\(x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)，\(x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)。 （3）因为\(-3 0\)，在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。 幻灯片 8：例题讲解 4 - 先整理为拓展形式 题目：解下列方程 （1）\(4(x - 1) - 9 = 0\) （2）\((x + 2) = (2x - 1) \) 解答 （1）移项得\(4(x - 1) = 9\)，两边同时除以\(4\)得\((x - 1) = \frac{9}{4}\)。 把\(x - 1\)看作一个整体，根据平方根的定义，得\(x - 1 = ±\sqrt{\frac{9}{4}} = ±\frac{3}{2}\)。 当\(x - 1 = \frac{3}{2}\)时，\(x = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}\)。 当\(x - 1 = -\frac{3}{2}\)时，\(x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\)。 所以方程的根为\(x = \frac{5}{2}\)，\(x = -\frac{1}{2}\)。 （2）根据平方根的定义，得\(x + 2 = ±(2x - 1)\)。 当\(x + 2 = 2x - 1\)时，\(2 + 1 = 2x - x\)，\(x = 3\)。 当\(x + 2 = -(2x - 1)\)时，\(x + 2 = -2x + 1\)，\(x + 2x = 1 - 2\)，\( ... ...