2.6.1 应用一元二次方程(1)（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

(课件网) 2.6.1 应用一元二次方程 (1) 一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如增长率问题、利润问题、行程问题等。解决这类问题的关键是从实际情境中抽象出数学模型，通过建立一元二次方程求解，再结合实际意义检验结果的合理性。本节将重点讲解增长率问题和利润问题的求解方法，帮助你掌握运用一元二次方程解决实际问题的基本思路和步骤。 一、解决实际问题的基本步骤 运用一元二次方程解决实际问题通常遵循以下步骤，可概括为 “审、设、列、解、验、答”： （一）审清题意 仔细阅读题目，明确问题中的已知量、未知量以及数量关系，理解问题的实际背景和所求目标。 （二）设未知数 根据问题特点设出合适的未知数，通常设所求量为未知数，也可设与所求量相关的中间量为未知数，设未知数时要注明单位。 （三）列出方程 根据题目中的等量关系，结合所学的数学公式（如增长率公式、利润公式等），列出一元二次方程。 （四）解方程 运用配方法、公式法、因式分解法等合适的方法求解所列出的一元二次方程，得到未知数的值。 （五）检验结果 将解得的结果代入原方程检验其正确性，同时结合实际问题的意义，判断结果是否合理（如是否为正数、是否符合实际数量限制等），舍去不合理的解。 （六）写出答案 用简洁明了的语言回答问题，注明单位。 二、增长率问题 增长率问题是实际生活中常见的问题，如人口增长、产量增加、资金增值等。其基本数量关系为： 若初始量为\(a\)，平均增长率为\(x\)，经过\(n\)次增长后，最终量为\(b\)，则有：\( a(1 + x)^n = b \) 若为下降率问题，则公式为：\( a(1 - x)^n = b \) 例 1： 某工厂 2022 年的产值为 100 万元，2024 年的产值为 144 万元，求该工厂产值的年平均增长率。 解： 审清题意：已知 2022 年（初始量）产值为 100 万元，2024 年（经过 2 次增长后）产值为 144 万元，求年平均增长率\(x\)。 设未知数：设该工厂产值的年平均增长率为\(x\)。 列出方程：2023 年的产值为\(100(1 + x)\)万元，2024 年的产值为\(100(1 + x)^2\)万元，根据题意得：\( 100(1 + x)^2 = 144 \) 解方程：\( (1 + x)^2 = 1.44 \\ 1 + x = \pm1.2 \) 解得\(x_1 = 0.2 = 20\%\)，\(x_2 = -2.2\)（增长率不能为负，舍去）。 检验结果：\(x = 20\%\)代入原方程，左边\(=100 (1 + 20\%)^2 = 100 1.44 = 144\)，等于右边，结果合理。 写出答案：该工厂产值的年平均增长率为 20%。 例 2： 某商品经过两次降价后，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，求平均每次降价的百分率。 解： 审清题意：初始售价为 25 元，经过两次降价后售价为 16 元，求平均每次降价的百分率\(x\)。 设未知数：设平均每次降价的百分率为\(x\)。 列出方程：第一次降价后的售价为\(25(1 - x)\)元，第二次降价后的售价为\(25(1 - x)^2\)元，根据题意得：\( 25(1 - x)^2 = 16 \) 解方程：\( (1 - x)^2 = 0.64 \\ 1 - x = \pm0.8 \) 解得\(x_1 = 0.2 = 20\%\)，\(x_2 = 1.8\)（降价百分率不能大于 1，舍去）。 检验结果：\(x = 20\%\)代入原方程，左边\(=25 (1 - 20\%)^2 = 25 0.64 = 16\)，等于右边，结果合理。 写出答案：平均每次降价的百分率为 20%。 三、利润问题 利润问题涉及成本、售价、销量、利润等量，其基本数量关系为： 单件利润 = 售价 - 成本； 总利润 = 单件利润 × 销量； 销量通常与售价相关，售价越高，销量往往越低，反之亦然。 例 3： 某商店销售一批衬衫，每件成本为 100 元，原来按每件 150 元销售，平均每天可售出 20 件。为了扩大销售，商店决定降价销售，经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，平均每天 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 授课教师： . 班 ... ...