22.3.1 实践与探索--用一元二次方程解图形面积、变化率问题 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件

(课件网) 以下是华东师大版九年级数学 22.3.1“实践与探索 ——— 用一元二次方程解图形面积、变化率问题” 教学课件的幻灯片分页内容： 1. 封面 标题：22.3.1 实践与探索 ——— 用一元二次方程解图形面积、变化率问题 标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦两类核心问题）、授课人姓名 2. 知识回顾与情境引入（衔接旧知，激发应用意识） 回顾 1：一元二次方程的解法 已学一元二次方程的解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，可根据方程特点选择合适解法；同时需注意检验解的实际意义（如长度、面积、增长率等不能为负）。 回顾 2：图形面积公式与变化率概念 常见图形面积公式：正方形面积 = 边长 、长方形面积 = 长 × 宽、三角形面积 =（底 × 高）/2、圆面积 =πr ； 增长率（或降低率）：若初始量为\(a\)，平均增长率为\(x\)，则经过\(n\)次变化后的量为\(a(1 + x)^n\)（降低率为\(a(1 - x)^n\)）。 情境引入：生活中许多实际问题可通过建立一元二次方程求解，例如： ① 一块长方形铁皮，剪去四个角的小正方形后折成无盖盒子，如何求盒子的容积？ ② 某公司去年利润为 100 万元，今年利润增长到 121 万元，如何求年平均增长率？ 这两类问题分别对应 “图形面积问题” 和 “变化率问题”，本节课将重点学习如何用一元二次方程解决它们。 3. 类型一：用一元二次方程解图形面积问题（核心：建立面积关系，列方程求解） 解题步骤（通用流程）： 设未知数：根据问题设关键未知量为\(x\)（如边长、宽度、半径等），明确未知数的实际意义（单位需统一）； 分析图形关系：根据图形变化（如裁剪、拼接、折叠），用含\(x\)的代数式表示相关边长、面积等； 列方程：根据 “已知面积” 或 “面积关系”（如面积相等、面积比等），建立一元二次方程； 解方程：选择合适的方法解一元二次方程； 检验与作答：检验方程的解是否符合实际意义（如长度为正、面积合理），舍去不合理的解，最后作答。 例题 1：长方形面积与裁剪问题 问题：一块长为 10cm、宽为 8cm 的长方形纸板，在它的四个角各剪去一个边长为\(x\)cm 的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为 48cm ，求剪去的小正方形的边长\(x\)。 解答过程： 设未知数：设剪去的小正方形的边长为\(x\)cm（\(x > 0\)，且需满足\(10 - 2x > 0\)，\(8 - 2x > 0\)，即\(x < 4\)）； 分析图形关系：折成的无盖长方体盒子的底面是长方形，长为\((10 - 2x)\)cm（原长减去两个小正方形边长），宽为\((8 - 2x)\)cm（原宽减去两个小正方形边长）； 列方程：根据 “底面积为 48cm ”，得\((10 - 2x)(8 - 2x) = 48\)； 解方程： 展开方程：\(80 - 20x - 16x + 4x^2 = 48\)； 整理为一般形式：\(4x^2 - 36x + 32 = 0\)，两边除以 4 得\(x^2 - 9x + 8 = 0\)； 因式分解：\((x - 1)(x - 8) = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 8\)； 检验与作答： 因\(x < 4\)，故\(x_2 = 8\)不符合实际意义，舍去； 结论：剪去的小正方形的边长为 1cm。 例题 2：正方形与面积差问题 问题：一个正方形的边长增加 3cm 后，新正方形的面积比原正方形的面积大 39cm ，求原正方形的边长。 解答过程： 设未知数：设原正方形的边长为\(x\)cm（\(x > 0\)）； 分析图形关系：原正方形面积为\(x^2\)cm ，新正方形边长为\((x + 3)\)cm，面积为\((x + 3)^2\)cm ； 列方程：根据 “面积差为 39cm ”，得\((x + 3)^2 - x^2 = 39\)； 解方程： 展开方程：\(x^2 + 6x + 9 - x^2 = 39\)； 化简得：\(6x + 9 = 39\)，解得\(x = 5\)； 检验与作答：\(x = 5 > 0\)，符合实际意义； 结论：原正 ... ...