24.2.3 因式分解法（课件）冀教版2025-2026学年九年级数学上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 标题：24.2.3 因式分解法 副标题：一元二次方程的简便求解策略 背景图：展示将一个多项式分解为两个整式乘积的示意图，搭配一元二次方程转化为\((x+a)(x+b)=0\)形式的过程图，凸显因式分解法的核心思路。 幻灯片 2：情境回顾与问题引入 旧知回顾：我们已经学习了配方法和公式法解一元二次方程，但对于某些特殊方程，是否有更简便的解法？ 乘法原理启发：若两个数的乘积为 0，则至少有一个数为 0，即若\(ab=0\)，则\(a=0\)或\(b=0\)（\(a\)、\(b\)为整式）。 问题转化：对于一元二次方程，若能将其左边分解为两个一次因式的乘积，右边化为 0，即可转化为两个一元一次方程求解。引出 “因式分解法” 的概念。 幻灯片 3：因式分解法的定义与依据 定义：通过因式分解将一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使每个因式等于 0，从而求解方程的方法，叫做因式分解法。 核心依据：若\(A ·B=0\)（\(A\)、\(B\)为整式），则\(A=0\)或\(B=0\)，即 “乘积为零原理”。 适用条件：方程左边的二次三项式能较容易地分解为两个一次因式的乘积，右边为 0。 优势特点：步骤简便、计算快捷，无需复杂配方或代入公式，是解特殊一元二次方程的首选方法。 幻灯片 4：因式分解法的解题步骤 化标准式：将方程化为一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a 0\)），并使右边为 0。 因式分解：把方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，即化为\((mx+p)(nx+q)=0\)的形式。 转化方程：根据乘积为零原理，得到两个一元一次方程：\(mx+p=0\)或\(nx+q=0\)。 求解方程：解这两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 口诀记忆：一化零，二分解，三转化，四求解。 幻灯片 5：常用因式分解方法回顾 提公因式法：若多项式各项有公因式，先提取公因式。 示例：\(ax+bx=x(a+b)\)，\(2x^2-4x=2x(x-2)\)。 平方差公式法：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。 示例：\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)，\(4x^2-25=(2x+5)(2x-5)\)。 完全平方公式法：\(a^2 ±2ab+b^2=(a ±b)^2\)。 示例：\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)，\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)。 十字相乘法：对于\(x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)\)。 示例：\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)，\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)。 幻灯片 6：例题讲解 1（提公因式法） 题目呈现：用因式分解法解方程\(2x^2-6x=0\)。 解答过程： 步骤 1：化为标准式，得\(2x^2-6x=0\)（右边已为 0）。 步骤 2：因式分解，提取公因式\(2x\)：\(2x(x-3)=0\)。 步骤 3：转化方程：\(2x=0\)或\(x-3=0\)。 步骤 4：求解：\(x_1=0\)，\(x_2=3\)。 结论：方程的两个根为\(x_1=0\)，\(x_2=3\)。 幻灯片 7：例题讲解 2（平方差公式法） 题目呈现：用因式分解法解方程\(4x^2-25=0\)。 解答过程： 步骤 1：化为标准式，得\(4x^2-25=0\)。 步骤 2：因式分解，用平方差公式：\((2x+5)(2x-5)=0\)。 步骤 3：转化方程：\(2x+5=0\)或\(2x-5=0\)。 步骤 4：求解：\(x_1=-\frac{5}{2}\)，\(x_2=\frac{5}{2}\)。 结论：方程的两个根为\(x_1=-\frac{5}{2}\)，\(x_2=\frac{5}{2}\)。 幻灯片 8：例题讲解 3（十字相乘法） 题目呈现：用因式分解法解方程\(x^2-7x+12=0\)。 解答过程： 步骤 1：方程已是标准式\(x^2-7x+12=0\)。 步骤 2：因式分解，十字相乘法：寻找两个数，乘积为 12，和为 - 7，即 - 3 和 - 4，故\((x-3)(x-4)=0\)。 步骤 3：转化方程：\(x-3=0\)或\(x-4=0\)。 步骤 4：求解：\(x_1=3\)，\(x_2=4\)。 结论：方程的两个根为\(x_1=3\)，\(x_2=4\)。 幻灯片 9：例题讲解 4（需先移项再分解） 题目呈现：用因式分解法解方程\((x-2)(x+1)=0\)的变形方程\(x(x-2)=x+1\)。 解答过程： 步骤 1：化为标准 ... ...