3.1.3《简单的分段函数》 课件（共21张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 简单的分段函数 一 简单的分段函数 　　事物的发展，在各个阶段会有不同的变化规律．用函数来表示时，对于自变量的不同范围可能用不同的解析式． 一 简单的分段函数 　　　　某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100kW·h，其中100kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费． 　　(1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式； 　　(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 　　问：小赵家第一季度共用电多少？ 例 1 一 简单的分段函数 　　解　(1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x； 　　当x>100时，月电费＝100kW·h的电费＋超过100kW·h部分的电费， 　　可得　y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93. 　　所以 　　(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100kW·h.因此用电量应使用函数的不同关系式来计算． 　　因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138kW·h，2月份用电112kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57x＝45.6，算出3月份用电80kW·h. 　　因此，小赵家第一季度共用电330kW·h. 一 简单的分段函数 　　一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 　　例6中的函数就是一个分段函数． 一 简单的分段函数 　　　　画出函数f(x)＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－ 1)，f(1)的值． 　解　因为　 　所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、 第二象限的一条折线，如图3.1-3所示． 　其中f(－3)＝3， f(3)＝3， f(－ 1)＝1， f(1)＝1. 　由上可知， f(x)＝|x|也是一个分段函数. 　要解决与分段函数有关的问题，通常要“分段”讨论，但需注意的是，最后要有一个统一的结论．分段仅仅是用了不同的表达式，分了段仍然是一个函数. 例 2 图3.1-3 一 简单的分段函数 　　　　画出函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|的图象． 　解　为了去掉绝对值符号，需分段讨论： 　当x＜－1时， f(x)＝(2－x)＋(－x－1)＝1－2x； 　当－1≤x≤2时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3； 　当x>2时， f(x)＝x－2＋x＋1＝2x－1. 　分段画出f(x)的图象，如图3.1-4所示． 例 3 图3.1-4 一 简单的分段函数 　　作分段函数的图象，一段一段地按表达式画是基本方法．本例可更简单：因为|x－2|和|x＋1|不论在哪一段中， 去掉绝对值符号后所得的都是一次函数，其和(或差)是一次函数或常数函数，图象都是直线，每段都是线段或射线，要作出其图象，只要在每段上取两个点就够了． 　　为了简单，尽可能取分段点．绝对值函数的分段点，就是绝对值符号中的量为0的点，所以f(x)的分段点在x＝－1和x＝2之处．为了画出第一段和第三段的射线，再取x＝－4和x＝5. 　　这样，即使不去掉绝对值符号，也能画图． 一 简单的分段函数 常用的分段函数 　　在前面，我们介绍了f(x)=|x|是一个分段函数(|x|也写作abs(x)).　在数学里，还有几个很常用的分段函数.　例如常用［x］表示不大于x的最大整数，如［4］＝4，［4.1］＝4，［－3.14］＝－4等，［x］叫作整数部分函数． 对应地，{x}＝x－［x］叫作小数部分函数，例如{4}＝0， {4.1} ＝0.1，{－3.14}}＝0.86等. 还有一个符号函数sgn(x)，当x＞0时，sgn(x)＝1；当x＝0时，sgn(x)＝0；当x＜0时，sgn(x)＝－1. 多知道一点 一 简单的分段函数 　　1.作出下列函数的图象，并写出函数的值域： 　　(1)y＝|x＋3|； ... ...