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课件网) 第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.3 定理、推论 1. 理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念. 2.会对一个证明题进行分析，找到已知与求证之间的联系. 3.掌握几何语言书写证明过程的基本步骤与要求. 判一判：下列命题中，哪些正确，哪些错误？ （1）每一个月都有31天； （2）如果a是有理数，那么a是整数; （3）同位角相等； （4）同角的补角相等. 错误 错误 错误 正确 经过证明为真的命题叫作定理. 命题有真命题与假命题之分. 假命题用举反例来说明，真命题是通过证明来说明. 三角形的内角和等于180° 证明了它是真命题 三角形内角和定理 例如： 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 利用三角形的内角和定理证明了它是真命题 三角形内角和定理的推论 例如： 简称为“三角形外角定理” 外角还有其他的性质吗 探究：如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ A B C D F E 80° 60° 40° 解：因为∠ACE = 180°－40° = 140°，∠CBD = 180°－60° = 120°， ∠BAF = 180°－80° = 100°， 所以∠ACE +∠CBD +∠BAF = 140° + 120° + 100° = 360°. 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角. 求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. A B C D F E 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 证明：如图： 所以 ∠BAF +∠CBD +∠ACE = (180°－∠BAC) + (180°－∠ABC) + (180°－∠ACB) = 540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB) = 540°－180° = 360°. A B C D F E 因为∠BAF = 180°－∠BAC，∠CBD = 180°－∠ABC，∠ACE = 180°－∠ACB， 推论：三角形的外角和等于 360°. 判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假. 解：原命题是真命题. 它的逆命题是“同位角相等，两直线平行” 逆命题是真命题. 总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 平行线的性质定理1 平行线的判定定理1 逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等. 说一说：命题“等角的补角相等”有没有逆定理？ 这个逆命题正确，原定理有逆定理． 判断一个定理是否有逆定理 写出这个定理的逆命题 为真命题 为假命题 是原定理的逆定理 原定理没有逆定理 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边， 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线. 求证：AE//BC. 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，∠CAD=∠B +∠C. 又∠B =∠C ， 于是∠CAD= 2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD=2∠DAE， 即∠B=∠DAE . 所以AE∥BC (同位角相等，两直线平行). 从而2∠B=2∠DAE， 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线. 求证：AE//BC. 证明与图形有关的命题时的步骤： 第一步 根据题意 先根据命题的条件画出图形，将文字语言转换为符号（图形）语言 第二步 根据条件、结论 结合图形 第三步 定义、基本事实， 已有定理 进行证明 写出已知、求证 反证法是一种 重要方法 要点归纳 1.下列说法正确的是( ) A.真命题的逆命题是真命题 B.每个命题都有逆命题 C.每个定理都有逆定理 D.假命题没有逆命题 B 2.如图，已知直线 ， 都与直线 相交，有下列条件： ； ； ； ．其中，能得 ... ...
