8.1.1 函数的零点 1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴的交点三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 一般地，一元二次方程????????????+????????+????=????????≠????的根就是二次函数????=????????????+????????+????????≠????当函数值取零时 的值，即二次函数????=????????????+????????+????????≠????的图象与????轴的交点的 ，也称为二次函数????=????????????+????????+????????≠????的零点． ? 横坐标 自变量x 二次函数的零点： 注意：零点不是点，是个实数. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数 y=ax2+bx+c的零点 有何关系？ {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} ?>???? ?=???? ?????)的图象 ????????????+????????+????=???? (????>????)的根 ????????，????=?????±????????? ????????=????????=????????????? 没有实数根 ????=????????????+????????+???? (????>????)的零点 ????????，????=?????±????????? ????????=????????=????????????? 没有零点 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 没有实数根 没有零点 二次函数的零点能推广到一般函数吗？如何求函数零点呢？ 1.函数的零点 (1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为____的实数x称为函数 y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系. 0 f(x)＝0 横坐标 说一说1：函数图象如下，则其零点为_____. 说一说2：对于以下函数如何快速判断它们是否存在零点? （1）????????=?????????????; （2）????????=?????????????; （3）????????=?????????????????; （4）????????=????????+????; ? ????? , ???? , ???? ? 画出函数图象，观察它们的图象与x轴是否有交点. （1）????????=?????????????; （2）????????=?????????????; （3）????????=?????????????????; （4）????????=????????+????; ? ????????=????????????? ? ????????=????????????? ? ????????=????????????????? ? ????????=????????+???? ? 【答案】（1）（2）（3）存在零点. 试一试：观察两个零点所在区间，以及这个区间内函数图象与????轴的关系，你能用????????的取值刻画这种关系吗？ ? ???? ? b ???? ? b ???? ? b ????，????上图象连续不断，且“穿过”????轴，????????????????0，则区间(a，b)内必无零点. (4)f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内只有一个零点. × × × × 函数零点存在定理的三个注意点： 1 函数是连续的； 2 定理不可逆； 3 至少存在一个零点. 1.(多选)下列图象对应的函数有零点的是（ ） 有两个零点 ACD 没有零点 有一个零点 有四个零点 练一练 例1 证明：函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)上存在零点. 证明： 因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=3＜0， f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1＞0， 且函数f(x)在区间[-2,-1]上的图象是不间断的， 所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点. 例2 求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点. 证明：法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)， ∴f(x)有两个零点为－2，1. 故f(x)至少有一个零点. 法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16， 又∵f(x)的图象在[－3，0]上不间断， ∴由函数零点存在定理，知f(x)在 ... ...
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