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课件网) 函数的奇偶性 1 函数的奇偶性 2 习题3.2 目 录 CONTENTS 3 数学文化 4 小结与复习 5 复习题三 一 函数的奇偶性 一 函数的奇偶性 图3.2-5中的两个函数图象都是我们熟悉的，它们有什么共同点？ 图3.2-6中的两个函数图象也是我们熟悉的，它们有什么共同点？ 图3.2-5 图3.2-6 一 函数的奇偶性 不难发现，图3.2-5中的两个图象，都是以y轴为对称轴的轴对称图形. 图3.2-6中的两个图象，都是以原点为中心的中心对称图形. 如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴 对称图形，就称F(x)是偶函数. 如果F(x)的图象是以原点为中心的中心 对称图形，就称F(x)是奇函数. 想一想：函数y=ax2+bx+c在什么条件下是偶函数？在什么条件下是奇函数？在什么条件下是非奇非偶的函数？在什么条件下是又奇又偶的函数？ 一 函数的奇偶性 能够简单地用数学符号语言来描述函数的奇偶性吗？ 说偶函数F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，具体是什么意思呢？这就是说，若点A在图象上，则点A关于y轴的对称点B也在图象上，而y轴是线段AB的垂直平分线． 于是，如果A的坐标为(x，F(x))，则B的坐标为(－x，F(－x))；直线AB平行于x轴，所以A，B在x轴同侧，并且到x轴的距离相等，即F(－x)＝F(x)． 反过来，如果对于F(x)的定义域中的任意的x，F(－x)都有定义并且满足F(－x)＝ F(x)，这表明图象上任一点(x，F(x))关于y轴的对称点(－x，F(－x))＝(－x ，F(－x))也在图象上，即F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 ． 一 函数的奇偶性 所以偶函数就是满足条件F(－x)＝ F(x)的函数． 同理可证：奇函数是满足条件F(－x)＝－F(x)的函数． 上面的讨论概括如下： (1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数； (2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数． 一 函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)=x2+|x|； (2) g(x)=x+ ； (3) h(x)=x3 (x∈［－2，5］). 解 (1)因为f(－x)=(－x)2+|－x|= x2 +|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)因为g(－x)=－x + = =－g(x)，所以g(x)为奇函数． (3)因为函数的定义域关于原点不对称，所以h(x)既不是奇函数也不是偶函数． 例 1 一 函数的奇偶性 设g(x)是定义于［－5，5］上的函数，f(x)=g(x)+g(－x)， 讨论f(x)的奇偶性； 如果在［0，5］上f(x)=1－2x，试求它在［－5，0］上的表达式 . 解 因为f(－x)= g(－x)+g(－(－x)) =g(－x)+g(x) =f(x)， 所以f(x)为偶函数． 当x∈［－5，0］时，－x∈［0，5］, 由偶函数性质得f(x)=f(－x)=1－2(－x)=1+2x. 例 2 一 函数的奇偶性 1.判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝ ； (2) f(x)＝ ； (3) f(x)＝ ； (4) f(x)＝1－2x＋x3. 这几个函数的图象如图所示，你 能在图中分别标出对应的函数吗？ 练 习 （第1题） 一 函数的奇偶性 2.求证：定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数. 3.设g(x)是定义于(－∞，+∞)上的函数， f(x)= g(x)－g(－x)，讨论f(x)的奇偶性；如果在［0，+∞)上f(x)= x2 －x，试求它在(－∞，0］上的表达式. 练 习 返回目录 二 习题3.2 二 习题3.2 学而时习之 1．如图是函数f(x)的图象．列出f(x)的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值． （第1题） 二 习题3.2 2.检验下列函数的增减性，并说明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值点． (1) f(x)＝3x－h (x∈［－2，5］)；(2) g(x)＝x2－2x－5 ... ...
