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课件网) 幂函数 一 幂函数 大雾天，海陆空的交通运输都会受到影响. 雾是大量小水滴在空气中悬浮而形成的. 小水滴为什么 不掉下来呢？ 近似地把水滴看成小球，用球的直径x来刻画它的大小. 当x变小时，水滴所受的重力和空气阻力都在变小，但程度不同. 水滴所受的重力和体积成正比，即和x3成正比；但它所受的空气阻力却和表面积成正比，即和x2成正比. 当直径x从1 mm变小到0.1mm时，水滴所受的重力减小到0.1%，而阻力减小到1%.相对来说，阻力与重力的比值增加到10倍.同理，x从1mm变小到0.01mm时，阻力与重力的比值增加到100倍.随着直径x的变小，水滴所受的重力比起阻力来，很快就变得微不足道了.这就是小水滴成雾的原因. 上面的讨论中用到的变量x，x2和x3 ，都是自变量x的函数.这三种函数我们已经很熟悉了. 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y=xα叫作(α次)幂函数．上面提到的1，2，3次幂函数，都是正整数次幂函数y=xn (x∈R，n是正整数)的例子． 一 幂函数 应用幂运算的基本不等式，可推出 对任意的正数r和两正数a＞b，有 ，即ar＞br. 对任意的负数r和两正数a＞b，有 ，即ar＞br. 由此可确定幂函数的增减性；而正整数次幂函数的奇偶性，则与幂指数的奇偶性一致. 多个正整数次幂函数与常数通过相乘相加组成的多项式函数，在理论和实际应用上极为重要. 正整数次幂函数的倒数 是负整数次幂函数.一般写成y=x－n，这里n是正整数，x≠0. 一 幂函数 我们已学过的倒数函数 ，以及平方倒数函数 ，是最常用的负整数次幂函数. 从点光源发出的射线，如果没有介质的屏 蔽，其强度随到达位置与光源的距离x的增大而 变弱，强度与x2成反比. 根据万有引力定律，与地心距离为x的物体 所受的重力的大小，与x2成反比.这是宇宙飞行技术的最基本的理论依据. 负整数次幂函数还有一个特点:其图象向上(下)与y轴正(负)向无限接近，向右(左)与x轴正(负)向无限接近.这一点无法用有限的图形来检验，但是可以通过幂运算的性质推理得知. 一 幂函数 负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数. 自变量x的平方根 或立方根 ，是最常见的分数次幂函数. 工业生产过程排放的烟尘，在没有风的日子，会长时间笼罩在一片地方的上空.这是因为，悬浮的颗粒在不流动的空气中扩散的速度与时间的平方根成正比，这是缓慢的运动. 一般地，对于实数次幂函数y=xα (α≠0)： (1)当α＞0时，它在［0，+∞)有定义且递增，值域为［0，+∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点； (2)当α＜0时，它在(0，+∞)有定义且递减,值域为(0，+∞)，函数图象过(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近. 一 幂函数 图4.1-1是我们熟悉的五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象，它们中的后四个，各代表了一类幂函数. 一 幂函数 图4.11 对于一般的非零实数α，幂函数y＝xα只在x＞0时才能都有意义.对于整数次幂函数，由于图象的对称性，把它们在(0，＋∞)上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就容易知道.所以我们主要关心幂函数y＝xα在x＞0时的图象和性质. 一 幂函数 一 幂函数 比较下列各组中两个数的大小： (1) 1.51.4，1.61.4； (2) 1.50.4，1.60.4； (3) 1.5－1.5，1.6 －1.5. 解 (1) 1.51.4，1.61.4可看作幂函数y=x1.4的两个函数值.该函数在［0，+∞)上递增，由于底数1.5＜1.6，所以1.51.4 ＜ 1.61.4. （2） 1.50.4，1.60.4可看作幂函数y=x0.4的两个函数值.该函数在［0，+∞)上递增，由于底数1.5＜1.6 ，所以1.50.4 ... ...
