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课件网) 2.2.3 直线的一般式方程 数学 学习目标 ①了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系； ②能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化． ③能运用直线的一般式方程解决有关问题． 1.温故知新 直线方程 形式 限制条件 点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线的斜率存在 斜截式 y=kx+b 直线的斜率存在 两点式 (x1≠x2,y1≠y2) 直线不能与坐标轴平行 截距式 =1(a,b≠0) 直线在两个坐标轴上的 截距不为0 问题1:在平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0表示吗 任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0), 当l的斜率为k时,此时直线的倾斜角，其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程. 当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角为90°时,直线的方程为x-x0=0,该方程可以认为是y的系数为0的二元一次方程. 因此在平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示. 问题2:任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线吗 定义:我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 当B≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,这是直线的斜截式方程,它表示过点（）斜率为-的直线. 当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-(A≠0),它表示过点（）且垂直于x轴的一条直线. 由上可知,关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 问题3:在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线: ①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合 ⑤过原点 【学以致用】 练习 若方程(6a2-a-2)x+(3a2-5a+2)y+a+1=0表示平行于y轴的直线,则实数a= . 1 解析 由题意,得解得a=1. 例1 求斜率是-,且经过点A(8,6)的直线的点斜式和一般式方程. 解 由题意知所求直线的点斜式方程为y-6=-(x-8),所求直线的一般式方程为x+2y-20=0. 变式训练1 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式: (1)经过点A(8,-2),斜率是-; (2)经过点B(4,-2),平行于x轴; (3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4); (4)在x轴、y轴上的截距分别是,-3. 解 (1)y+2=-(x-8),化成一般式为x+2y-4=0. (2)y=-2,化成一般式为y+2=0. (3),化成一般式为x+y-1=0. (4)=1,化成一般式为2x-y-3=0. 例2 将直线方程2x+3y+1=0化为斜截式和截距式,同时画出该直线. 解 斜截式:原方程可化为3y=-2x-1,则y=-x-; 截距式:分别令x=0和y=0,求出方程在y轴和x轴的截距为-和-,原方程可化为=1. 画出的直线如图所示. 例3 过点P(-1,2)且平行于直线l:2x-y+1=0的直线方程为( ) A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.2x-y+4=0 D 评价反馈 1.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式: (1)斜率是 且经过点(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 解 (1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5),化为一般式方程为x-y+3-5=0. (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0. (3)由两点式方程可知,所求直线方程为,化为一般式方程为2x+y-3=0. (4)由截距式方程可知,所求直线方程为=1,化为一般式方程为x+3y+3=0. 2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l'的方程: (1)过点(-1,3),且与直线l平行; (2)过点(-1,3),且与直线l垂直. 评价反馈 解 (1)由直线l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0. 将点(-1,3)代入,可得m=-9. 所以所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由直线l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0.将点(-1,3)代入,可得n=13. 所以所求直线的方程为4x-3y+13=0. 课堂小结 1.知识清单: (1)直线的一般式方程; (2)直线五种形式方程的互化; (3)利用直线方 ... ...
