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课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 第1课时 数学 学习目标 ①能用向量语言表示点、直线、平面． ②理解与掌握直线的方向向量． ③理解与掌握平面的法向量． 问题1.你如何确定每一架无人机在空中的位置 问题2.多架无人机如何组成一条直线或一个平面 问题3.你会用空间向量法表示空中变幻的无人机吗 情境 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素. 因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 如何用向量表示空间中的一个点？ （提示：向量的坐标表示） O P 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示。 点→点+位置向量 点P 的位置向量 问题1 我们知道，空间中给定一个A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线l （用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点） A B 追问1 点A与向量 能否确定直线AB上的任意一点P的位置？ P 过点A作 ，则A，B两点即可确定一条直线 点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 追问2 假设O是空间任意一点，又可以怎样表示 ？ 将 代入①式，得 O 空间直线的向量表示式 线→点+方向向量 问题2 回忆 在立体几何中，如何确定一个平面？ 基本事实 不共线的三点确定一个平面. （1）直线和直线外一点确定一个平面. （2）两条相交直线确定一个平面. （3）两条平行直线确定一个平面. 推论 问题3.1 一个定点和两个定方向能否确定一个平面 如何用向量表示这个平面 两条相交直线的方向向量 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一 的有序实数对(x, y)， 使得 α O P 这样，点O与向量 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用. 进一步地, 如图, 取定空间任意一点O, 可以得到, 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x, y, 使 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. α P C O A B 空间平面ABC的向量表示式 一个定点和两个定方向能否确定一个平面 如何用向量表示这个平面 面→点+两个不共线向量 问题3.1 问题3.2 空间中一点与一个向量是否可以表示一个平面 如果可以，如何表示？ （给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.） 如图，直线l⊥α， 取直线l的方向向量 , 我们称向量 为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量 , 那么过点A,且以向量 为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合 α A l 追问 如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量 ， 与 有什么关系 m P 面→点+一个平面法向量 注意：1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 空间中的要素 向量表达式 备注 点 点+位置向量 直线 平面 点+直线方向向量 点+两个不共线向量 点+一个平面法向量 探究一 空间中的点、直线和平面的向量表达式 例 如图，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线CD的方向向量 (2)求平面BCC1B1的法向量; (3)求平面MCA1的法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 M 分析：求直线的方向向量，就是找到一个向量，满足它所在的直线与已知直线平行或重合；求平面的法向量，就是要找到一个向量，满足 ... ...
