3.2.1 函数的单调性与最值 课件（共16张PPT）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 函数的单调性与最值 一 函数的单调性与最值 　　给定一个函数的解析式或图象，你能不能从中看出这个函数的性质呢？ 　　函数尽管千变万化，但函数值毕竟是实数，实数变化，无非是变大变小．要问函数的性质，首先在大小上做文章．大，大到什么程度，上面封顶不封顶？小，小到什么程度，下面保底不保底？ 一 函数的单调性与最值 　　概括来说，对函数性质的研究，我们首先关心的是函数值的变化范围(封顶和保底)和变化趋势(走高和下滑)．如图3.2-1是某报2016年11月刊登的上海证券交易综合股价指数（简称上证指数）一年多来的走势曲线图. 图3.2-1 (上证指数) 一 函数的单调性与最值 　　从图3.2-1可以看到，自2015年6月份以来，上证指数从最高点振荡后总体一路下跌，虽中途偶有攀升，但到2016年2月份振荡下跌，几乎到最低点．随后又回升至3000点，呈现平稳的态势. 　　从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察得到的认识是不是准确呢？例如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠性如何保证呢？ 　　发现疑问，提出疑问，是学习数学的好习惯，是创新思维的开始，你还能提出更多的问题吗？ 一 函数的单调性与最值 　　例如，图3.2-2是计算机用描点连线的方法画出的同一个函数的两个图象．虚线是取10个点描出的，实线是取50个点描出的，两者明显不同． 图3.2-2 一 函数的单调性与最值 　　可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够．从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图，对函数的性质会了解得更全面、更准确，为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质． 　　以下设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如不加说明，我们认为I是个区间． 　　(1)函数的最大(小)值 　　如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝ f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． 　　仿照上面，同样可以写出f(x)的最小值和最小值点的定义． 　　最大值和最小值统称为最值. 一 函数的单调性与最值 　　(2)函数的单调性 　　如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增，如图3.2-3. 　　如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减，如图3.2-4. 图3.2-3 图3.2-4 一 函数的单调性与最值 　　如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 一 函数的单调性与最值 　　　　　证明：定义在R上的函数f(x)＝3x＋b是增函数. 　证明　设x1和x2是任意两个实数，且x1 < x2 ，则 　　　　　　　　　 f(x2)－f(x1)=(3x2+b)－(3x1+b) 　　　　　　　　　　　　　　 =3(x2－x1)>0. 　于是　　　　　　　　　 f(x2)>f(x1). 　由函数单调性的定义可知，函数f(x)是R上的增函数. 例 1 一 函数的单调性与最值 　　对于例1的解答过程，假如任取的x1，x2满足x1>x2，怎么判断f(x)是增函数还是减函数呢？此时x2－x1<0，f(x2)－f(x1)=3(x2－x1)<0，f(x2)