2025-2026学年上海市复旦大学附属复兴中学高二上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共有 4题，满分 18分，第 1、2题每题 4分，第 3、4题每题 5分。 1.已知 、 、 是空间中的三条不重合的直线， 、 、 是三个不同的平面，下列命题中真命题是( ) A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 2.已知向量{ , , }是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是( ) A. + ， ， B. + ， ， C. + ， ， D. + ，2 ， 3.如图，圆锥 的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形， 为弧 上的一点，∠ = 45 ， 为线段 上的动点，则 + 的最小值为( ) √ 2 5 A. √ 2 B. √ 3 C. 2 D. + √ √ 2 2 2 4.三棱锥 各顶点均在半径为2√ 2的球 的表面上， = = 2√ 2, ∠ = 90。，二面角 8 的大小为45。，则对以下两个命题，判断正确的是( )①三棱锥 的体积为 ；②点 形成的 3 轨迹长度为2√ 6 ． A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 二、填空题：本题共 12题，第 5-10题每题 4分,第 11-16题，每题 5分，共 54分。 5.两个平面最多可以将空间分成 部分． 6.已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为 7.已知一球的体积为 ，则该球的表面积为 6 第 1 页，共 11 页 8.如图，已知长方体 1 1 1 1的棱长 1 = 3 ， = 4 ，则点 到棱 1 1的距离 是 ． 9.如图，矩形 ′ ′ ′ ′的长 ′ ′为4 ，宽 ′ ′为2 , ′是 ′ ′的中点，它是水平放置的一个平面图形 的直观图，则 的周长为 ． 10.如图，正方体 1 1 1 1的所有棱中，其所在的直线与直线 1成异面直线的共有 条． 11.空间三角形 三个顶点的坐标分别为(0,0,0), (1,0,1)和( 3,1,2)，则三角形 的面积 = 12.如图，半径 = 2的球 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于 第 2 页，共 11 页 13.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 滚动，当这个圆锥 在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为 ． 14.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧 棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵 1 1 1中， ⊥ ，且 1 = = 2.有下列命题： ①四棱锥 1 1为“阳马”； ②四面体 1 1 为“鳖臑”； 2 ③四棱锥 1 1体积最大为 ； 3 ④过 点分别作 ⊥ 1 于点 , ⊥ 1 于点 ，则 ⊥ 1 ． 则正确命题是 15.从点 引三条射线 、 、 ，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间 的夹角的最小值是 ． 16.如图，点 ， 分别为正方体 1 1 1 1的棱 1， 1的中点，以正方体的六个面的中心为顶 点构成一个八面体，若平面 1 1将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为 1， 第 3 页，共 11 页 2，则 1 = ． 2 三、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 如图，在正方体 1 1 1 1中． (1)求异面直线 1 和 所成角的大小； (2)求二面角 1 的大小． 18.(本小题12分) 如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥底面 ， = = 1， = √ 2.点 为 的中点． (1)证明：平面 ⊥平面 ； (2)求点 到平面 的距离． 19.(本小题12分) 如图，三棱锥 中，底面 是正三角形， ⊥底面 ， ⊥平面 ，垂足为 ． 第 4 页，共 11 页 (1) 是否可能是 的垂心，请说明理由 (2)若 恰是 的重心，求直线 与平面 所成角的大小． 20.(本小题12分) 如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ，且 = = = 2， = 1， 是棱 的中点． (1)求点 到平面 的距离； (2) ... ...
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