2025-2026学年上海市南汇中学高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

2025-2026学年上海市南汇中学高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.设 ， ， 是不同的直线， ， 在平面 内，则“ ⊥ 且 ⊥ ”是“ ⊥ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知乘积( 1 + 2)( 1 + 2 + 3)( 1 + 2 + 3 + + )( ∈ , ≥ 1)展开后共有60项，则 的值为( ) A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 3.如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 1, 1 = 2√ 2，点 为 上的动点，则 1 + 的最 小值为( ) A. 5 B. √ 15 C. 2 + 2√ 2 D. √ 17 4.已知 是正方体 1 1 1 1的中心，过点 的直线 与该正方体的表面交于 、 两点，现有如下命 题：①线段 在正方体6个表面的投影长度为 ( = 1,2, ,6)，则∑ 6 =1 为定值；②直线 与正方体12条棱 所成的夹角的 ( = 1,2, ,12)，则∑ 12 2 =1 为定值.下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 二、填空题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。 5.已知 // ， ，则直线 、 的位置关系为 (填平行、相交、异面) 6.已知向量 = ( 3,2, )， = (6, 4,2)，若 // ，则 = ． 7.正方体 1 1 1 1中，异面直线 与 1所成角的大小为 ． 8.已知水平放置的 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ = √ 3，则原 的面积为 ． 2 第 1 页，共 9 页 9 9.若球的体积是 ，则球的表面积是 ． 2 10.如图，在四面体 中，点 是 的重心，设 = ， = ， = ，则 = . (用 ， ， 表示) 11.点 在锐二面角 的平面 上，点 到平面 的距离为3，点 到棱 的距离为3√ 2，则此二面角的 大小是 ． 2 12.将一个圆心角为 ，面积为3 的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为 ． 3 13.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，点 在截面 1 上，则线段 的最小值等于 ． 14.正四棱锥 的底面边长为2，高为2， 是边 的中点，动点 在表面上运动，并且总保持 ⊥ ，则动点 的轨迹的周长为 ． 15.如图，对四棱锥的各面进行染色，要求有公共棱的两个面不同色.现有4种颜色可供选择，则不同的染色 方法共有 种. 16.在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 1，点 满足 = + 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]， 则下列说法中，正确的有 (请填入所有正确说法的序号) ①当 = 1时， 1 的周长为定值 第 2 页，共 9 页 ②当 = 1时，三棱锥 1 的体积为定值 1 ③当 = 时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥ 2 1 ④当 = 时，有且仅有一个点 ，使得 1 ⊥平面 2 1 三、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 ， ， 三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报 项目，则有多少种不同的报名方法？ 18.(本小题12分) 在如图所示的圆柱中， 是底面直径， 是圆柱的母线，且 = = 2.设 是底面圆周上的动点． (1)求圆柱的表面积； (2)当二面角 的大小为 时，求点 到平面 的距离． 3 19.(本小题12分) √ 10 在正四棱锥 中，侧棱 的长为2√ 5， 与 所成的角的大小等于arccos ． 5 (1)求正四棱锥 的体积； (2)若正四棱锥 的五个顶点都在球 的表面上，求此球 的半径． 20.(本小题12分) 如图，已知 ⊥平面 ， ⊥平面 ，△ 为等边三角形， = = 2 ， 为 的中点． 第 3 页，共 9 页 (1)求证： //平面 ； (2)求证：平面 ⊥平面 ； (3)求直线 和平面 所成角的正弦值． 21.(本小题12分) 如图所示，已知三棱柱 1 1 1的侧棱与底面垂直， 1 = = = 1， ⊥ ， 是 1的中 点， 是 的中点，动点 在直线 上，且满足 = 1 1 ... ...