2025-2026学年上海市静安区市西中学高二（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共有 4题，满分 18分，第 1、2题每题 4分，第 3、4题每题 5分。 1.若直线上有两个点在平面外，则( ) A. 直线上至少有一个点在平面内 B. 直线上有无穷多个点在平面内 C. 直线上所有点都在平面外 D. 直线上至多有一个点在平面内 2.设 ∈ ，则 > 的充要条件是( ) A. > 0 B. > 1 C. > 10 D. 0 < < 1 3.定义：将24小时内降水在平地上积水厚度( )来判断降雨程度.其中小雨(0 10 )，中雨 (10 25 )，大雨(25 50 )，暴雨(50 100 )，小明用一个圆锥雉形容器接了24小 时的雨水，则这天降雨属于哪个等级( ) A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 4.已知菱形 中，∠ = 60°， 与 相交于点 ，将△ 沿 折起，使顶点 至点 ，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使△ 为等边三角形； ② 与 不可能垂直，成立的是( ) A. ①为假命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①②均为真命题 D. ①②均为假命题 二、填空题：本题共 12题，第 5-10题每题 4分,第 11-16题，每题 5分，共 54分。 5.设集合 = { | = 2 }， = { | = 2}，则 ∩ =_____． 6.两个平面平行的判定定理：“如果一个平面上的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 1 7.已知 ∈ ( , )， = ，则sin( + ) = _____． 2 3 6 8.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1：4，母线(原圆锥母线在圆台中的部分)长为 12，则原圆锥的母线长为_____． 第 1 页，共 8 页 9.正方体 1 1 1 1中， 1与平面 1 1 所成的角的正切值是_____ 10.已知上海地处东经120°52′至122°12′，北纬30°40′至31°53′之间，地球半径为6371.004 .则纬线所在 两平面的距离是_____. (精确到0.001 ) 11.已知函数 = ( )的表达式是 ( ) = 2 + ，若对于任意 ∈ 都满足 ( ) ≤ ( )，则实数 的 2 取值范围是_____． 12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面 围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的 三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6 个面为正方形的一种半正多面体.若 = √ 2，则此半正多面体外接球的表面积 为_____． 13.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高．若半径为 的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则球心到截面的距离为 _____. (球冠的表面积公式： = 2 ，其中 是球的半径， 是球冠的高．) 14.△ 的三边 = 10， = 12， = 14， 、 、 分别是 、 、 的中点，沿 、 、 将△ ，△ ，△ 折起，使得 、 、 重合于 ，则四面体 的体积为_____． 15.已知正四面体 的棱长为2，棱 //平面 ，则正四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面 积的最小值是_____． 16.正方体中 1 1 1 1，过 1作直线1，若直线 与平面 中的直线所成角的最小值为 ，且直6 线 与直线 1所成角为 ，则满足条件的直线 的条数为_____． 4 三、解答题：本题共 5小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题14分) (1)已知平面向量 = (1,2)， = (2, )，若 与 平行，求实数 的值． 第 2 页，共 8 页 (2)已知复数 是方程 2 + 2 + 2 = 0的解，若 > 0，且 + = + ( 、 ∈ ， 为虚数单位)，求 | + |． 18.(本小题14分) 沪教版教材11.4.2在推导半径为 的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都 为 ，其底面和半球体的底面同在平面 上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解 答以下问题： (1)补充完整祖暅原理：夹在两个_____间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的_____截得的两 ... ...
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