江苏省常州市2016届高三（上）期末数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷 　 一、填空题 1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=_____． 2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩ UA=_____． 3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校_____所． 4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为_____． 5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为_____． 6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为_____． 7．如图所示的流程图中，输出S的值是_____ 8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥M﹣PAD的体积为_____． 9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为_____． 10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=_____． 11．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为_____． 12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为_____． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是_____． 14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是_____． 　 二、简答题 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B﹣C）=1﹣cosA，且b，a，c成等比数列，求： （1）sinB sinC的值； （2）A； （3）tanB+tanC的值． 16．如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点． （1）求证：ED∥平面BB1C1C （2）若AB=BB1，求证：A1B⊥平面B1CE． 17．已知等差数列{an}的公差d为整数，且ak=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N （1）求k及an （2）设a1＞1，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为Tn，若存在正整数m，使得，求q． 18．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ （1）求S关于θ的函数关系式； （2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由． 19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论． 20．已知a，b为实数，函数f（x）=ax3﹣bx． （1）当a=1且b∈[1，3]时，求函数F（x）=||+2b+1（x∈[]的最大值为M（b））； （2）当a=0，b=﹣1时，记h（x）= ①函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）﹣y（x）．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈（0，x0），任意x2∈（x0，+∞），都有g（x1）g（x2）＜0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由． ②令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合． 　 选修4-1：几何证明 ... ...