初中数学北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 本章复习与测试讲义（原卷版+解析版）

2025秋季初三数学同步讲义13-直角三角形边角关系 【基础巩固】 1、三角函数的定义 2、特殊角三角函数值 3、三角函数在几何计算小题中的应用 4、三角函数实际应用大题 【精准突破】 一．锐角三角函数的定义 例1．（基本定义）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 例2．（网格三角形）（1）如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A． B． C． D． （2）（需要做平行线）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，与相交于点，则的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 例3．如图，已知，，，，则的长是（ ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） B． C．2 D． 2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（） A．0.5 B． C．2 D． 3．如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ） A． B． C． D．2 4．如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（ ） A． B．10 C． D．15 二．特殊角的三角函数值的计算 例1．如果的、满足，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．计算： ． 三．三角函数在几何计算小题中的应用 例1．（结合反比例函数）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（ ） A． B． C． D． 例2．（常规结合几何计算）如图，在中，，D是边上一点，且 (1)试求的值； (2)试求的面积． 例3．（小题：结合相似、勾股定理方程、最值问题等）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 【实战演练】 1．如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则 ． 2．如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（ ） A． B． C．4 D． 3．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（ ） A． B． C． D． 4．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱，小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于 ． 5．图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ． 四．解直角三角形（小题） 例1．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 例2．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 【实战演练】 1．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方 ... ...