5.3.2.2 函数的极值与最值 教学设计及教学反思

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 5.3.2.2 函数的最大（小）值 一、教学目标 1、探索并应用函数极值与导数的关系求函数最大（小）值. 2、掌握利用导数求取函数极值的方法. 二、教学重点、难点 重点：利用导数求函数最大（小）值. 难点：熟练应用导数解决函数最大（小）值问题. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【回顾】 函数的极值的求取方法 解方程，当时 如果在的附近的左侧， 右侧，那么是极大值. 如果在的附近的左侧， 右侧，那么是极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum) 【问题】如图 是函数的极小值，是函数的极小值. 在区间上，如何求函数的最大值和最小值？ （二）阅读精要，研讨新知 【解读】 分析图象可知，是函数的极小值， 是函数的极小值. 因为，，所以是函数在区间上的最小值； ，所以是函数在区间上的最大值. 【发现】通过图形分析 可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是. 函数在区间上的最小值是，最大值是. 【方法】一般地， 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 【例题研讨】阅读领悟课本例6（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.） 例6 求函数在区间上的最大值与最小值.（注意：与课本写法不同） 解：由已知，，令, 解得，或 当变化时，在区间的变化情况如表所示. 0 2 3 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，在区间上的最大值是，，最小值是. 【结论】一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【问题与思考】从例4中引发的结论： 当时，证明：. 证明：由已知，得，设，则 令，解得. 当变化时，在区间的变化情况如表所示. 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，当时，取得最小值，所以 即 所以，当时，. 【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】 （三）探索与发现、思考与感悟 1.（多选）已知函数,下列说法中正确的有（ ） A. 在上有两个极值点 B.在处取得最大值 C.在处取得极小值 D.函数在上有三个不同的零点 解：由已知， 令,得或 当时, , 当时, , 当时, , 所以函数在处取得极小值,在处取得极大值, 又，， 所以函数在上有三个不同的零点. 故选ACD 2.已知 (是常数)在上有最大值3,那么此函数在上的最小值为(　 ) A. B. C. D. 解：由已知，，令,解得或. 因为, 所以，所以，最小值为,故选A. 3. 设直线与函数的图象分别交于点,则当达到最小值时的值为(　　) A.1 B. C. D. 解：因为的图象始终在的上方，所以 设,则，令，又,得, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以当时有最小值，故. 故选D. 4. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围． 解：（1）由已知得 当时，有，此时在上单调递增. 当时，由得，因为，所以 由及得 此时在上单调递增，在上单调递减. （2）由已知得，所以 设， 若在上不单调，则，即 所以 又仅在处取得最大值， 所以满足即可，即 解得 所以的取值范围为 （四）归纳小结，回顾重点 一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. （五）作业布置，精炼双基 1.完成课本习题5.3 6 2.预习5 ... ...