上海市复旦大学附属复兴中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市复旦大学附属复兴中学高二上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。 1.已知、、是空间中的三条不重合的直线，是三个不同的平面，下列命题中真命题是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2.已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，圆锥的轴截面是一个面积为的等腰直角三角形，为弧上的一点，，为线段上的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 4.三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是( )三棱锥的体积为；点形成的轨迹长度为． A. 都是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 都是假命题 二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。 5.两个平面最多可以将空间分成 部分． 6.已知正方形边长为，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为 7.已知一球的体积为，则该球的表面积为 8.如图，已知长方体的棱长，，则点到棱的距离是 ． 9.如图，矩形的长为，宽为是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则的周长为 ． 10.如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有 条． 11.空间三角形三个顶点的坐标分别为和，则三角形的面积 12.如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于 13.如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则圆锥的母线长为 ． 14.九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且有下列命题： 四棱锥为“阳马”； 四面体为“鳖臑”； 四棱锥体积最大为； 过点分别作于点于点，则． 则正确命题是 15.从点引三条射线、、，其两两间的夹角为、、，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是 ． 16.如图，点，分别为正方体的棱，的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面将八面体分割成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则 ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在正方体中． 求异面直线和所成角的大小； 求二面角的大小． 18.本小题分 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，点为的中点． 证明：平面平面； 求点到平面的距离． 19.本小题分 如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． 是否可能是的垂心，请说明理由 若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 20.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． 求点到平面的距离； 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； 设是棱含端点上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 21.本小题分 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，． 证明：； 求二面角的大小； 设直线与平面、平面、平面所成角分别为、、，求的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.【详解】 不妨设正方体边长为，以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，． 从而，． 由于，故，所以异面直线和所成角的大小为 由，，，，． 设平面的一个法向量，则． 令，则，，故． 同理：平面的一个法向量，故． 由于朝向二面角的外部，朝向二面角的内部，故二面角的余弦值为，从而其大小为． 18.【详解】因为底面，平面，所以 ... ...