上海市嘉定区第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将下面的平面图形每个点都是正三角形的顶点或边的中点沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是( ) A. B. C. D. 2.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为( ) A. B. C. D. 3.三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线大数学家欧拉在年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线在平面直角坐标系中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点的坐标为”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图所示，半径为的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：越来越小；保持不变．它们成立的情况是( ) A. 都正确 B. 都错误 C. 正确，错误 D. 错误，正确 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了 道理． 6.设复数满足是虚数单位，则等于 ． 7.已知直线，则直线的倾斜角为 ． 8.函数的最小值为 ． 9.如图，已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则 ； 10.如图，在直角坐标系中，放置一个直角梯形，用斜二测画法作出的直观图的面积为 ． 11.有一个圆锥形漏斗，其底面直径是，母线长为，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度 ． 12.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 13.如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于的线段，且，则的长为 ． 14.如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的余弦值构成的集合是 ． 15.如图，水平放置的正四棱锥形工艺品的高为，底面对角线长为，在工艺品内部注入了部分液体，液体深度为现有一根长度为的玻璃棒放在工艺品内部，的一端置于点处，另一端置于侧棱上的点，则没入液体中部分的长度为 精确到工艺品外壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计 16.已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面含棱上异于顶点、、、的点，记若集合中有且只有个元素，则符合条件的点有 个． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知直线． 当直线在轴上的截距是它在上的截距倍时，求实数的值： 当直线不通过第四象限时，求实数的取值范围． 18.本小题分 如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点． 证明：平面； 若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 19.本小题分 如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行． 若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离后会有触礁危险？ 当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 20.本小题分 已知是底面边长为的正四棱柱． 若正四棱柱的高为，求点到平面的距离； 设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：． 为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值． 21.本小题分 我们知道： ... ...