上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市南汇中学高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，，是不同的直线，，在平面内，则“且”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知乘积展开后共有项，则的值为( ) A. B. C. D. 3.如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 4.已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：线段在正方体个表面的投影长度为，则为定值；直线与正方体条棱所成的夹角的，则为定值下列判断正确的是( ) A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.已知，，则直线、的位置关系为 填平行、相交、异面 6.已知向量，，若，则 ． 7.正方体中，异面直线与所成角的大小为 ． 8.已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，，则原的面积为 ． 9.若球的体积是，则球的表面积是 ． 10.如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则 用，，表示 11.点在锐二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则此二面角的大小是 ． 12.将一个圆心角为，面积为的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为 ． 13.如图，在棱长为的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于 ． 14.正四棱锥的底面边长为，高为，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ． 15.如图，对四棱锥的各面进行染色，要求有公共棱的两个面不同色现有种颜色可供选择，则不同的染色方法共有 种 16.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法中，正确的有 请填入所有正确说法的序号 当时，的周长为定值 当时，三棱锥的体积为定值 当时，有且仅有一个点，使得 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． 共有多少种不同的报名方法？ 若甲、乙报同一项目，丙不报项目，则有多少种不同的报名方法？ 18.本小题分 在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且设是底面圆周上的动点． 求圆柱的表面积； 当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 19.本小题分 在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于． 求正四棱锥的体积； 若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径． 20.本小题分 如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点． 求证：平面； 求证：平面平面； 求直线和平面所成角的正弦值． 21.本小题分 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． 求证：不论取何值，总有； 设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； 设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5.平行或异面 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为． 甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为． 18.解：由题意可知，圆柱的底面半径为，高为， 则该圆柱的表面积为． 因为平面平面，则， 因为是底面直径，是底面圆周上的动点， 由题意可知，与、不重合， 所以，，因为，、平面， 所以，平面，因为平面，则， 所以二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，则， 所以，，则， 由，设点到平面的距离为， 则，解 ... ...