中小学教育资源及组卷应用平台 2.3.2两点间的距离公式 教学设计 一、教学目标 1.理解两点间距离公式的推导原理，熟练掌握两点间距离公式，能运用公式解决平面直角坐标系中两点距离的计算问题及相关实际应用。 2.通过构造直角三角形推导公式，体会数形结合与转化与化归思想，提升逻辑推理和运算求解能力。 3.感受数学知识的生成过程，体会代数运算与几何图形的内在联系，增强用数学解决实际问题的意识。 二、教学重难点 1.教学重点：两点间距离公式的推导过程与记忆，运用公式计算两点间距离及解决相关问题。 2.教学难点：理解公式推导中“构造直角三角形”的转化思路，灵活运用公式解决含参数的距离问题及实际应用场景。 三、教学过程 （一）情境导入，引发思考 生活情境：学校操场为长方形，A点是操场西南角，坐标为(1,2)，B点是操场东北角，坐标为(5,6)（单位：米）。若学生从A点直线走到B点，需要走多少米？你能通过已学知识解决这个问题吗？ 旧知铺垫：引导学生回顾平面直角坐标系中点的坐标表示、直角三角形的勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），明确“两点间的直线距离”可转化为直角三角形的斜边长度。 引出课题：通过生活中的距离计算问题，激发学生探究欲望，引出本节课主题———两点间的距离公式。 （二）探究新知，推导公式 1.特殊情况推导：坐标轴上或平行于坐标轴的两点距离 （1）问题1：已知点P(2,3)和点Q(5,3)，求PQ的距离。 引导分析：P、Q两点纵坐标相同，连线平行于x轴，距离为横坐标差的绝对值，即PQ=|5-2|=3。 （2）问题2：已知点M(2,3)和点N(2,7)，求MN的距离。 引导分析：M、N两点横坐标相同，连线平行于y轴，距离为纵坐标差的绝对值，即MN=|7-3|=4。 （3）总结特殊情况：若两点平行于x轴，距离为横坐标差的绝对值；平行于y轴，距离为纵坐标差的绝对值。 2.一般情况推导：任意两点间的距离公式 （1）问题探究：已知平面直角坐标系中任意两点P (x ,y )和P (x ,y )，如何求P P 的距离？ （2）构造模型：过P 作x轴的平行线，过P 作y轴的平行线，两条线交于点Q，易知Q点坐标为(x ,y )，且△P QP 为直角三角形，其中P Q为直角边，长度为|x -x |；QP 为另一直角边，长度为|y -y |；P P 为斜边。 （3）公式推导：根据勾股定理，P P =P Q +QP =(x -x ) +(y -y ) （绝对值平方后符号可去掉），故两点间距离公式为：。 （4）公式说明：①公式中x 与x 、y 与y 的顺序可交换，因为平方后差不变；②公式对任意两点都适用，包括特殊情况（平行于坐标轴的两点）。 即时验证：用公式解决导入问题 导入问题中A(1,2)、B(5,6)，代入公式得AB=米，与学生手动构造直角三角形计算结果一致，验证公式正确性。 （三）例题讲解，巩固应用 例题1：直接运用公式计算距离 求下列两点间的距离：（1）A(-1,0)，B(2,3)；（2）C(4,-2)，D(4,3)；（3）E(-2,5)，F(3,-7)。 解析：（1）代入公式得AB=；（2）两点横坐标相同，可用特殊情况或公式计算，CD=；（3）EF=。 小结：直接代入公式时，注意符号运算，尤其是负数相减的情况。 例题2：利用距离公式求参数值 已知点P(3,4)，点Q(x,2)，且PQ=2，求x的值。 解析：根据距离公式，PQ =(x-3) +(2-4) =(x-3) +4，已知PQ=2，故PQ =20，因此(x-3) +4=20→(x-3) =16→x-3=±4→x=7或x=-1。 小结：已知距离求参数时，先平方去掉根号，转化为一元二次方程求解，注意参数可能有两个解。 例题3：距离公式的实际应用 在平面直角坐标系中，某快递公司网点A坐标为(0,0)，现有两个快递收件点B(1,3)和C(4,1)，快递员从A出发，先到B再到C，求快递员行走的总路程（结果保留根号）。 解析：总路程为AB+BC，其中AB=，BC=，故总路程为。 （四）课堂练习，反馈提升（约10分钟） 求点M(-3,2)与 ... ...
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