3.2.1 双曲线及其标准方程教学设计 【教学内容】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程; 2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程; 【教学目标】 1.类比椭圆了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程,提升逻辑推导素养； 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算素养； 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决相关问题，培养数学抽象、逻辑及运算素养。 【教学重难点】 教学重点：双曲线的定义、几何图形及根据条件求双曲线标准方程。 教学难点：标准方程的推导过程及应用。 【教学过程】 一、温故而知新———双曲线的定义 1．回顾椭圆的概念 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)_的点的轨迹叫做椭圆. 2．问题的提出：平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 下面我们先用信息技术探究一下： 在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.如图： （1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？ 答：|MF1|+|MF2|=|AB|，椭圆 （2）两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？ 答:如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹. 改变条件：在|AB|<|F1F2|的条件下，让P在线段AB外运动,如图： （1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？ 答：||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线 （2）同样地，两圆一定相交吗？当什么条件下才能相交？ 答：如果|F1F2|>|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是双曲线；如果|F1F2|<|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹. 双曲线定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的_差的绝对值_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_双曲线.这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距. 请回答以下问题： 问1：已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3、5、0、6时，P点的轨迹是什么？ （1）a＝3？ 双曲线 （2）a＝5 两条射线 （3）a＝6 不存在 （4）a＝0 F1F2的中垂线 注意： (1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线. (2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线. (3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在. (4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为F1F2的中垂线. 问：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？ 答：不可以！因为双曲线有两支。当|MF1|-|MF2|>0,就是右支，当|MF1|-|MF2|<0,就是左支。 二、双曲线的标准方程 1. 焦点在x轴上的双曲线标准方程 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 如图：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0. 设M(x，y)是双曲线上一点，则 ||MF1|－|MF2||＝2a(a为大于0的常数,a2a，即c>a，所以c2－a2>0， 类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得＝1(a>0，b>0)．所以，焦点在x轴上的双曲线标准方程为：＝1(a>0，b>0) ② 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程 ... ...
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