第4章 指数与对数 小结与复习 教案

第4章 指数与对数 小结与复习 ▍教学目标 进一步理解指数运算． 理解对数的概念，熟练对数运算性质． 运用指数、对数的性质解决复杂的运算问题． 数学运算：指数、对数的运算； 逻辑推理：指数的运算性质与对数的运算性质的联系； 数学抽象：从实例中抽象出对数的换底公式． ▍复习回顾 [教师引导] 根式及相关概念： 的次方根定义：一般地，如果（，），那么称为的次方根； 根式：式子叫作根式，这里叫作根指数，叫作被开方数． 根式的性质： 对于，，为奇数时，；为偶数时， 分数指数幂： （，，均为正整数）； （，，均为正整数）； 的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义． 有理数指数幂的运算性质： （，）； （，）； （，）． 对数概念： 一般地，如果（，），那么就称是以为底的对数，记作，其中，叫作对数的底数，叫作真数． 对数运算性质： ； ； ； ； 其中，，，，，，． [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式： 上节课，我们学习了指数和对数的一些重要运算性质，请你谈谈对相关知识点的理解．让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于形成知识体系． ▍典例精讲 题型一：分数指数幂的运算 【例题1】 计算：； 化简：（）． [答案] 方法归纳 指数幂与根式运算的技巧： 有理数指数幂的运算技巧： 运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算． 指数的处理：负指数先化为正指数，底数互为倒数． 底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示． 根式运算技巧： 各根式 尤其是根指数不同时 要先化成分数指数幂，再运算． 多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂． 题型二：条件求值问题 【例题2】 已知，，求值； 已知，求下列各式的值： ① ； ② ； ③ ． [答案] ；； 方法归纳 条件求值问题的常用方法 整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值． 求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果． 【变式】 已知，，且，求． [解析] ∵，∴，， ∴． 题型三：对数运算性质的应用 【例题3】 计算下列各式的值： ； ； ； 已知，，求的值（用，表示）． [解析] 原式 ； 原式 ； 原式； ． 方法归纳 利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： “拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）； “收”：将同底对数的和（差）收成积（商）的对数． 在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． 常用的公式有：，，等． 题型四：指数和对数综合应用 【例题4】 的三边长分别是，，，且满足，，试判断的形状，并写出推理过程． [解析] 由，可得： ，，，，解得（舍），， 所以，得， 即为直角三角形． ▍课堂反馈 设，则的值为（　　）． A．6 B．3 C．2 D．1 [答案] D 求值：； 已知，求值：①；②． [答案] ①18，② [解析] 原式； ① 因为，所以，即， 所以， ② 由①知，因为，所以， 所以． 已知，． 求的值； 求的值． [答案] [解析] 由得，． 所以 ； 由得， 所以． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． ... ...