4.2 等差数列的前n项和公式 表格式教学设计（AI赋）

《等差数列的前n项和公式》教学设计 一、教学目标 1. 理解并掌握等差数列前n项和公式的推导及应用。 2. 通过AI重现高斯情境、互动探究，经历从具体到抽象的数学发现过程，培养逻辑推理与问题解决能力。 3. 在AI辅助的探索与成功中，感受数学文化的魅力（高斯的故事），激发学习兴趣，增强学习数学的自信心和成就感。 二、教学重难点： 重点：等差数列的前n项和的推导. 难点：等差数列的前n项和的推导. 三、教学准备 PPT课件、AI工具（如即梦数字人，豆包，ChatGPT等）、投影仪。 四、教学思路与方法 引导学生合作探究来完成从“高斯算法”到“倒序相加法”的思维转变。转化为同数求和是解决问题的思想。通过数形结合，用倒置拼补，几何直观强化这种思想。 五、教学过程 教学环节：情境引入 教学内容 师生活动 AI赋能点 引导语：在前面的学习中，我们已经学习了等差数列的通项公式，以及与等差数列有关的一些基本性质，这节课我们来探讨一下等差数列的前n项和公式. 问题情境：大家以前都听说过这样一个故事，据说200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100=？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案5050。 高斯的算法： （1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 高斯的算法实际上解决了求等差数列： 1，2，3，…，前100项的和问题 问：1.高斯采用的是怎样的计算方法。 （首尾配对法） 使用豆包和即梦生成数字人高斯，引发学生兴趣。 教师唤醒AI角色：“让我们召唤出10岁的小高斯，看看他是怎么想的吧！” AI高斯（角色扮演）： “（兴奋地）这很简单呀！我发现1+100=101，2+99=101...一共有50对好朋友！所以答案是101×50=5050！” 教学环节：新知探究 教学内容 师生活动 AI赋能点 回顾性质：P17例5 已知数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*， 且 p＋q＝s＋t，则 可以发现高斯在计算中利用了 这一特殊关系，使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算。 情境变化：你能用高斯的方法求1＋2＋…＋100+101吗？ 将上述方法推广到一般，1+2+3+4+…+n，可以得到： 当n为偶数时， 于是有 + 当n为奇数数时， 有 =（1+n）+[2+(n-1)]+…+[(+ ++ 所以，对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n 思考：我们发现，求和时对n分奇偶进行讨论比较麻烦，能否设法避免分类讨论呢？ 我们换一一思路，得到下面的方法： 将上述两式相加，得 所以 探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 倒序相加法 . 由此可得等差数列{an}的前n项和公式： Sn＝ （1） 把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d带入公式（1）可得：Sn＝na1＋d. 2.高斯在求和的过程中利用了数列的什么性质？ 下标和相等的两项和相等 3.高斯求和法的实质是什么？ （通过配对凑成相同的数，化“多步求和”为“一步相乘”，将“不同数的求和”化归为“相同数的求和” ） 学生探究： 思路1： 思路2： …… 点评：通过拿出一项或增加一项将奇数项转化为偶数项再配对，把奇数个项求和的问题转化为偶数个项求和的问题. 穿插提问，强调重点 当学生遇到困难（尤其是n为奇数时），可以向AI高斯求助。 AI高斯引导式回答 ，在AI的启发下，师生共同完成对n为奇数和偶数的分类讨论，得出 AI动画可视化“倒序相加” 教学环节：例题解析 教学内容 师生活动 AI赋能点 例6.已知数列{}是等差数列. （1）若=7, =101,求； （2）若=2, = ,求； （3）若=，d=, =5,求； 分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出d ，再利用公式 求和；（3）已知公式 中的，和，解方程即可求得. 解：（1）因为=7, =101，根据公式，可得=2700. （2）因为=2, = ， 所以d= .根据公式 ，可得 = （3）把= ... ...