1.2 空间向量基本定理 教学设计（AI赋能）

人民教育-出卷网-A版 选择性必修一 教学设计 空间向量基本定理 一、教学内容 空间向量的正交分解；空间向量基本定理及其证明.借助geogebra软件、豆包、deepseek 等AI大模型软件。 二、教学目标 1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养； 2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力； 3.理解空间向量基本定理的意义，培养学生数学抽象的核心素养. 三、教学重点与难点 重点：空间向量基本定理，定理的猜想和证明过程. 难点：空间向量基本定理“唯一性”的证明. 四、教学过程设计 （一）AI赋能，唤醒旧知 教师提问“平面向量基本定理的内容是什么？” 引导学生回忆“平面内任意向量可由两个不共线向量线性表示，且表示式唯一”。 同时，通过GeoGebra软件实时展示平面内向量的分解过程，点击屏幕即可调整基底和待分解向量，直观呈现定理内涵。 (强调两个向量一定共面，三个向量可能共面，可能异面) 展示无人机飞行轨迹图，提问“无人机在三维空间中的位移向量，能否用类似平面的方式表示？需要几个‘基准向量’？”。 播放AI生成的三维空间向量动态视频，展示空间中向量的复杂运动，引发学生思考“平面到空间的推广逻辑”。这三个空间向量是不共面的,那么这三个空间向量能否表示空间中的其它向量呢 设计意图：根据生活中的实例，引出空间向量基本定理这一课题，培养学生学习的兴趣 （二）探究新知 任务1：探究空间向量基本定理的内容. 思考：类比平面内任一向量都可以用两个不共线的向量，来表示（平面向量基本定理），任意一个空间向量是否也能用任意三个不共面的向量，，来表示呢？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 探究：AI模拟，直观感知 组织学生分组操作：每组通过GeoGebra 3D软件，自主设定三个不共面的向量（如以正方体顶点为起点的棱向量，，），再任意构造空间向量p，使p=xi+yj+zk软件实时显示向量合成过程，发现“无论p如何变化，都能找到唯一一组x，y，z。 (1)情形一：如图(1)所示，空间中三个不共面的向量两两互相垂直时,能用这三个向量唯一表示吗？ 情形二：如图(2)所示，空间中任意三个不共面的向量时，能用这三个向量唯一表示吗？ 图1 图2 情形一：空间中三个不共面的向量两两互相垂直时， 如右图，设，，是空间中三个两两互相垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点.对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则.又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而 而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得 从而 因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得 我们称，，分别为向量在，，上的分向量. 情形二：空间中任意三个不共面的向量时， 活动一（验证“存在性”）： 在预设的3D坐标空间中，任意拖动一个目标向量 p。 提供三个可调整的不共面向量 a, b, c 作为基底。 尝试用 a, b, c 的线性组合去“匹配”目标向量 p。 设，，不共面，过点作，，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线，， 存在三个数，，，使得，，， 从而 ， 因此，如果，，是空间中任意三个不共面的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得 . 活动二（理解“唯一性”）： 教师提问： “表示法唯一吗？如果我们找到一组（x, y, z），还能找到另一组吗？” 平台设置一个“锁定”的向量 p。学生尝试输入不同的x, y, z组合，看看能否得到同一个 p。 AI会显示“此组合已偏离目 ... ...