专题09 排列组合、二项式定理及基本不等式 题型01 排列组合 1．（2025年湖北武汉市武昌区三模）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（ ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 2．（2025年江西九江市三模）含甲、乙的5名同学分成两组参加志愿服务活动，则甲、乙不同组的分配方案有（ ） A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 3．（2025·湖南省郴州市·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1 区域2 区域3 区域4 区域5 区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 3．（2025·四川省自贡市·三模）要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有 种. 5．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为，，，中所包含的不同整数的个数，比如：，．当时，有序数组的个数为 ；当取遍所有的个有序数组时，）的总和为 ． 6．（2025·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为 ．（用数字作答） 题型02 二项式定理 1．（2025·湖南省永州市·三模）的展开式的第4项系数是（ ） A． B．280 C． D．560 2．（2025年山东省泰安市三模）的展开式中项的系数为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·三模）的展开式的第4项系数是（ ） A． B．280 C． D．560 4．（2025·重庆·三模）的展开式中含的项的系数为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州铜仁·三模）随机变量，若，则的展开式中的系数为（ ） A．12 B．15 C．16 D．20 6．（2025年山西吕梁市三模）在的展开式中，的系数是（ ） A．11 B．15 C．20 D．25 7．（多选）（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．在的展开式中，常数项为 C．若二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大，则 D．在的展开式中，的系数为85 8．（2025年四川宜宾市三模）的展开式中，含的项的系数是（ ） A． B． C．30 D．60 9．（多选）（2025年广东省广州市天河区三模）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．展开式共项 B．各项系数的和为1 C．项的系数为 D．二项式系数最大的项为第项 10．（2025·河北省张家口·三模）若的展开式中的系数为240，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 11．（2025·四川省攀枝花·三模）的二项展开式中含的项的系数为 （用数字作答）． 12．（2025·河南省安阳市·三模）的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 13．（2025·海南·三模）若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为 ． 14．（2019·贵州贵阳·一模）展开式中的常数项为 ． 15．（2025·河南周口·二模）在的展开式中有理项的系数的和为 ． 题型03 基本不等式 1．（2025·河南省焦作市·三模）若，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 2．（多选）（2025·湖南省郴州市·三模）设正实数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·河北省张家口·三模）已知，，且，若，则（ ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 4．（多选）（2025·辽宁沈阳·三模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（ ） A． B． C．a的最大值为2 D．的最小值为 5．（2025·贵州铜仁·三模）已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； ( ... ...
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