专题一 与中点有关的辅助线作法 方法呈现 方法 1 构造中位线 条 件：如图①，在 中，D为边AB的中点，且已知BC的长 辅助线：过点 D 作 BC 的平行线，交AC 于点 E(或取AC 的中点E，连接DE) 结 论:DE是 的中位线， (三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半) 1. 如图,在Rt△ABC中, D为边BC的中点，E在边AB上，若 求 DE的长. 方法 2 构造中线 直角三角形中 条 件:如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点 辅助线：连接BD 结 论： (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 等腰三角形中 条 件：如图③，在等腰△ABC中，D为底边 BC的中点 辅助线：连接AD 结 论:∠BAD=∠CAD,BD=DC,AD⊥BC(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简写成“三线合一”) 2.如图，在等边 中，D为边BC的中点，BD=2,求 的面积. 3.如图，在四边形ABCD中，过点A 作 于点 E，且BE=2CE,,点 F,G分别是AE,AB 的中点,连接CF,GF,求证: 方法3 构造等腰三角形 条 件:如图④,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交AC于点E 辅助线：连接BE 结 论：△BCE为等腰三角形，BE=CE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等) 4. 如图,在△ABC中,点D 为BC的中点,过点 D 作 交AC于点E.已知 45°,CE=2,求AB 的长. 典例精析 例1 如图，在 中，AB=AC=5, 点D,E分别是BC,AC的中点,连接AD,点 F 是BC上一点,且BF=3,连接EF. 若AD=3,求EF的长. 思路分析 为什么作→条件：点E 是AC的中点，AD=3 怎 么 作 →辅助线:过点E作EG∥AD交BC于点G(如图)(目的:构造三角形中位线解题)———方法1 得到什么→结论： 点G是CD的中点 思路跟踪：结合题干条件，在Rt△ADC中，根据勾股定理可求得CD的长，结合等腰三角形的性质得出BC的长，从而得出FC的长，再结合中位线的性质求出CG，EG的长，从而求出 FG的长，再利用勾股定理求出EF的长. 自主解答 解： 例2 如图,在△ABC中,∠C=45°,D为边AC的中点,E,F分别为AB,BC边上的点,且DE⊥DF. (1)如图①,连接EF,若∠A=45°,AE=4,FC=3,求EF的长; (2)如图②,若∠A=75°,∠CDF=30°,求 的长. (1)如图①,连接EF,若∠A=45°,AE=4,FC=3,求EF 的长; 思路分析 为什么作 条件:∠A=∠C=45°,即△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,且D为边AC的中点 怎 么 作 辅助线：连接BD(如图①)(目的：利用等腰三角形“三线合一”和直角三角形斜边中线的性质)———方法2 得到什么→结论:BD⊥AC,∠ABD=∠CBD=45°,AD=CD=BD 思路跟踪:由BD⊥AC,DE⊥DF,根据同角的余角相等,得到∠EDB=∠FDC,结合BD=CD,∠ABD=∠C,可得出△EDB≌△FDC,即可得出BE=CF,则AE=BF,在Rt△EBF中利用勾股定理即可求出 EF 的长. 自主解答 解： (2)如图②,若∠A=75°,∠CDF=30°,求 的长. 思路分析 为什么作→条件:∠C=45°,D为AC的中点 怎 么 作→辅助线：在BC上选一点G，使得DG=DC(如图②)(目的：构造等腰直角三角形)———链接：P20方法4 得到什么→结论:△CDG是等腰直角三角形,∠CDG=90° 思路跟踪：根据角的等量代换可证得△DGF∽△DEA，得出线段比例关系，再结合锐角三角函数求解. 自主解答 解： 针对训练 1.如图，平行四边形ABCD的面积为16，连接AC，BD 相交于点O，点E为OC的中点，连接BE 并延长使BE=EG,,连接AG交BD 于点 F,求四边形 OEGF 的面积. 2.如图①，已知 中,AB=AC,CE是AB边的中线,延长AB到点D,使得BD=AB. (1)求证:(CD=2CE; (2)如图②,若点 F是BC的中点,连接EF,若BF=2,EF=3,求△ABC的面积; (3)如图③, 若 求BM的长. 专题一 与中点有关的辅助线作法 方法呈现 1、解:∵ D是BC 的中点,AC=6,如解图,过点 D 作DF∥AC交AB 于点F,(已知D 是 BC 的中点,且知道AC 的长,求 DE的长，考虑构造三角形的中位线，利用线段关系求解) ∴ F 是AB 的中点, ∵ ∠A=90°,∠DEB=30°, ... ...
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