2.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计

第二章 圆锥曲线 1.1 椭圆及其标准方程 教学内容分析 本节是“圆锥曲线”章节的开篇，围绕椭圆的定义和标准方程展开，是解析几何中从“几何定义”到“代数方程”转化的典型体现。 知识层面：先通过“平面截圆锥面”“细绳画椭圆”等方式引出椭圆定义；再通过坐标法推导焦点在轴、轴上的椭圆标准方程；最后结合例题和练习，巩固概念与应用。 思想方法：贯穿“数形结合”“坐标法”的解析几何核心思想，为后续双曲线、抛物线的学习提供方法范式，同时体现“从特殊到一般”“抽象概括”的数学思维。 学情分析 学生已学习“直线与圆”，具备解析几何的初步认知，能运用坐标法解决简单几何问题。且掌握了圆的基本概念和性质，椭圆作为圆的推广，这为学习椭圆提供了基础。但学生对“圆锥曲线”这一全新曲线类型的概念建构和方程推导仍需适应。针对基础薄弱学生：在“两次平方化简方程”“几何意义辨析”上易遇阻。学有余力学生：可引导其深入探究圆与椭圆的内在联系。 目标解析 通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线。能通过实例知道圆锥曲线在科学、生活中有着广泛的应用。能通过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值。 通过“细绳画椭圆”探究椭圆的轨迹，抽象出椭圆的几何特征，会用精确的数学语言描述椭圆的定义，发展学生的数学抽象核心素养。 借助椭圆图形的几何特征，类比圆的建系过程，选择恰当的平面直角坐标系，遵循坐标法求曲线方程的一般步骤，推导出椭圆的标准方程。体会坐标法下求轨迹方程的过程中数形结合等思想方法，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 通过GGB展示动态作图，感受信息技术与数学课程的深度融合，体会数学情景与科学情景的交融，培养学生创新实践能力。 通过椭圆的生成背景，将数学文化融入学习中，开拓学生数学视野，激发学习兴趣，体会数学的人文价值、科学价值、文化价值和应用价值。 四、重点与难点 重点：椭圆的定义与椭圆的标准方程。 难点：椭圆标准方程的推导。 五、教法与学法 教法：探究发现法、直观演示法、讲授法、分层指导法相结合。 学法：动手实践法、合作探究法、归纳总结法、分层学习法。 六、教具： 圆锥桶（如冰淇淋桶）、硬纸板、无弹性细绳、工字钉、PPT，GGB、投影仪、关系演示教具。 七、课前预习内容： 课本：47页【章前语】、椭圆及其标准方程和77页【阅读材料】 八、教学过程 情境引入，深入思考 情境：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，所得的截线是一个圆，如果改变圆锥的轴与平面形成的角，会得到怎样的曲线？ 【师生互动】 请学生上前演示：一位同学手持冰淇淋的圆锥桶，另一位同学拿一张硬纸板作为平面，将硬纸板垂直圆锥轴（即平面平行圆锥底面），让学生观察截线形状并回答；然后再缓慢倾斜硬纸板（双手逐渐转动纸板），追问截线形状？ 教师用GGB动态展示平面截圆锥，用不垂直于圆锥曲线的轴的平面截圆锥，直观观察得到不同曲线，有椭圆、双曲线、抛物线，统称为圆锥曲线，引导学生理解曲线名称的来源和三种曲线之间必然存在的紧密联系。 问题1：世界首次月球自动采样的嫦娥六号运行的轨迹主要是什么曲线？在生活中你见到过这种形状的曲线吗？试着举出一些例子。 （上至天文，地球的运行轨道是椭圆形的；下至百姓家庭，茶几的桌面、手表的表盘、菜碟都可能是椭圆形。） 问题2：可以给椭圆下个定义吗？ 【设计意图】 创设问题情境，了解圆锥曲线的来源，从圆锥曲线截线的角度直观感知圆锥曲线的形状，明确本章主要任务。将对椭圆的感性认识上升为理性认识，从直观几何转化为解析几何，同时结合实际应用激发学生兴趣，激发爱国情怀和民族自豪感，增强科技自信，厚植家国情怀 ... ...