第三章 圆锥曲线中的定点、定值、定直线的问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 知识点01：定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 知识点02：定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5 设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- 知识点03：空间向量的有关概念定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 【题型一：直线过定点问题】 一、解答题 1．已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程； （2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标． 【详解】（1）右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． （2）直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， ， ，， 即， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 2．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)(i)；(ii)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，，可得双曲线方程； (2) (i)联立直线和双曲线方程，根据题意，，计算可得m的取值范围； (ii)假设定点的坐标为，所以，，因为，再利用向量坐标的乘法运算即可得到定点. 【详解】（1）由已知得解得，，所以双曲线的方程为； （2）(i)设，，则，联立 ... ...