徐汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合，或，则_____ 2．若复数满足，则_____ 3．展开式中常数项为_____．（用数字作答） 4．已知为等差数列的前项和，若，，则_____． 5．双曲线的虚轴长为_____ 6．已知，，则_____． 7．设向量，，且，则_____． 8．徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有_____ 9．已知正四面体，设沿，，方向的力分别为，，，则这三个力的合力的大小为_____ 10．已知函数，，若存在，使得，则的最大值为_____ 11．已知函数其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是0； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为 ，且的取值范围为．其中，所有正确结论的序号是_____． 12．若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 14．已知实数、满足，则“成立”是“成立”的（ ）条件 A．充分非必要 B．充要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 15．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题： ①若该家庭中有两个小孩，则与互斥； ②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立，则：（ ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A．4 B．2 C．6 D．1 三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．在三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 18．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为线段，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． （1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； （2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； （3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明） 20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程． （3）若过椭圆上一点的切线方程为 ... ...
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