(
课件网) 21.2 平行四边形 第二十一章 四边形 21.2.2 平行四边形的判定 21.2.3 三角形的中位线 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 平行四边形的判定方法 三角形的中位线 知识点 平行四边形的判定方法 知1－讲 1 1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 知1－讲 续表 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD BC (或AB CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形 知1－讲 续表 判定方法 符号语言 图示 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D，∴四边形ABCD是平行四边形 对 角 线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD 是平行四边形 知1－讲 2. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 知1－讲 特别提醒 1. 平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理，解题时要注意区别，不能混淆. 2. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 如等腰梯形. 知1－讲 3. 两组邻边分别相等的四边形不一定是平行 四边形.如筝形，如图21.2－27. 4. 两组邻角分别相等的四边形不一定是平行 四边形.如等腰梯形. 知1－练 例 1 如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E， CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 解题秘方：根据所给条件可知证三角形全等可得到证四边形ABCD是平行四边形的条件，方法不唯一. 知1－练 证法一：(证两组对边相等)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD. ∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF, ∴△AED≌△CFB, ∴AD＝CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 知1－练 证法二：(证两组对角相等)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF. ∵AE＝CF, ∠AED＝∠CFB，DE＝BF, ∴△AED≌△CFB, ∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF. 知1－练 ∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE， ∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF， 即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 知1－练 证法三：(证两组对边平行)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF, ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD. 易得△AED≌△CFB，∴∠ADE＝∠CBF. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 知1－练 证法四：(证一组对边平行且相等)∵BF＝DE， ∴BF－EF＝DE－EF, 即BE＝DF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF, ∴AB＝CD，∠ABE＝ ∠CDF，∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 知1－练 1－1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥ BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：① BD∥CF； ② DF＝BC；③ BD＝CF；④∠B＝∠F，能使四边形BCFD是平行四边形的是_____(填上所有符合要求的条件的序号)． ①②④ 知1－练 1－2. 如图，在ABCD中，AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线. 求证：四边形AFCE是平行四边形. (至少用两种证法) 知1－练 知1－练 知 ... ...
