广西南宁市第四中学五象凤凰校区高中部2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

南宁四中五象凤凰校区高中部2025年秋季学期 开学考试题 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若．则 =（　　） A． B． C． D． 2. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 2020-2024年我国居民人均可支配收入（单位：元）分别为32189，35128，36883，39218，41314，则这组数据的75%分位数是（ ） A. 36883 B. 38050.5 C. 39218 D. 41314 4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 5.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线， 则（　　） A．1 B． C．2 D． 6．在中，，，分别为角，，的对边，，，的面积为，则的周长为（　　） A．6 B．8 C． D． 7．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为，上口直径约为，经测量可知圆台的高约为，圆柱的底面直径约为，则该组合体的体积约为（　　）（其中的值取3） A． B． C． D． 8.在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9.已知，是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（　　） A．若实数，使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中，为实数 C．对于，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数，，使 10. 已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A B. C. 若，则 D. 若，则是直角三角形 11．如图，正方体中，若，，分别为棱，，中点，，分别是四边形，的中心，则（　　） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量 向量 则在上的投影向量坐标是_____. 13．在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于_____． 14．设，是不重合的两个平面，，是不重合的两条直线，给出下列命题： ①若，，，则与是异面直线； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.．某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； (3)试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 16．如图，已知中，，点D是边BC上一点，且． (1)求AD的长； (2)求的面积． 17．如图，四棱柱中，四边形为矩形，且平面平面，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 18．某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3 ... ...