15.4 课时3 等腰三角形的判定定理及推论 课件（26页） 2025-2026学年沪科版（2024）初中数学八年级上册

(课件网) 第 15 章 轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 课时3 等腰三角形的判定定理及推论 1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算.（重点、难点） 在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C A 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 一、等腰三角形的判定 在△ABD 与△ACD 中， ∠1 =∠2， ∴ △ABD≌△ACD(AAS). ∠B =∠C， AD = AD， ∴ AB = AC. 过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. 则∠1 =∠2. ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边” 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 这又是一个判定两条线段相等的根据之一. A B C D 2 1 ∵∠1 =∠2， ∴ BD = DC (等角对等边). ∵∠1 =∠2， ∴ DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为两角都不是在同一个三角形中. 如图，下列推理正确吗 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D ∴∠EDB =∠EBD. ∴ BE = DE，即△EBD 是等腰三角形. 变式训练：如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 解：是的. 由折叠可知，∠EBD =∠CBD. ∵AD∥BC，∴∠EDB =∠CBD. 1. 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° B 2. 如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则CD 的长为_____. 3 cm 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 由等腰三角形的判定定理可以直接得到： 二、等边三角形的判定 为什么？ ↗ 证明推论1：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. 不 是 是 是 是 是 不一定 是 （1） 5 5 4 （2） 5 5 5 （3） 60° 60° （4） 60° （5） 5 5 60° （6） 5 5 60° 例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°． ∵ DE∥BC， ∴∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角 ... ...